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Encore des enigmes (exo de maths)

Forum Etudes / Travail : Encore des enigmes (exo de maths)

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abel_b   21-06-2007 à 15:15:55

Bonjour à tous, je reviens em***** le monde avec des enigmes (qui ressemblent à des exos de maths en fait)

- Trouver toutes les fonctions définies et continues sur [0,1] telles que :
f(0)=0 ; f(1)=0 et ( f(x)=f(y)=0 ) implique ( f((x+y)/2)=0 )
(en gros si pour x et y dans [0,1] on a : f(x) et f(y) sont nuls, alors f(la moyenne des 2) est nul aussi)


- Trouver toutes les fonctions définies sur IR, continues en 0, vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) pour x et y des reels
(indice : montrer que f est continue sur IR, faire une conjecture, le prouver sur IN, puis sur Q, puis sur IR)

PS : Pour ceux qui sont au lycée, il sera peut etre difficile de démontrer la continuité donc admettez le au pire car je crois que la définition d'une fonction continue est hors programme du lycée

------------------------------ Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.
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romain57   21-06-2007 à 15:58:39
- 0 +

Salut,

 

Je me lance avec deux equations pour l'exo 1 :

 
Spoiler :

(1/2)x²+(1/2)x=0
et x=0
Juste??


Message édité par romain57 le 21-06-2007 à 16:08:50
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romain57   22-06-2007 à 11:56:09
- 0 +

Pas d'autre réponses ou de correction?? :(

Répondre à romain57
abel_b   22-06-2007 à 15:49:56
- 0 +

Salut, je crois que tu as mal compris l'énoncé de l'exo (en fait je ne fais pas le rapprochement entre ton raisonnement et l'énoncé). Il s'agit de trouver toutes les fonctions vérifiant la propriété...
Par exemple, vu que f(0)=f(1)=0 alors on peut en déduire que f(1/2)=0, que f(3/4)=0 que f(1/4)=0....En bref, je ne comprend pas le sens de tes équations.


Pour le 2 : indice

Spoiler :


On sait que les fonctions linéaires vérifient cette propriété (ce qui nous dit pas que ce sont les seules)
Preuve pour IN : faire par récurrence.
preuve sur Q : se déduit du résultat sur IN (en écrivant que x=p/q où p et q sont des entiers, apres il faut quand meme "bricoler" )
preuve pour IR : se déduit de Q par continuité de la fonction (cette preuve est peut etre dure si on ne connait pas la définition de la continuité)

------------------------------ Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.
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