DM de math sur les suites ...

Bonjour à tous, toutes, j’ai un devoir maisons sur les cousins du nombre d’or et je rencontre quelques difficultés …Donc pour le 1/ à priori pas de problèmes, j’ai étudié les variations puis pour l’unique solution positive je me suis aidé du graphique en montrant qu’elle coupe l’axe des abscisses en un seul point.
Pour le 2.1 a) ça va aussi mais à partir du b) du 2.1 je suis carrément bloqué donc si quelqu’un pouvait m’aider ou me dire ce qu’il faut faire ça serait vraiment sympa …
Donc voila désolé de l’avoir écrit de cette façon je ne trouvait pas les touches appropriées pour les maths vraiment désolé. Voici le sujet en dessous et merci d’avance pour celui ou celle qui aura le courage de s’y pencher :S je demande juste un peu d’aide :S


Devoir maison sur les cousins du nombre d’or …

On rappelle que l’équation x(carré) = 1 + x possède une unique solution positive notée (phi ) appelée nombre d’or

1/ Etude de l’équation En : x(cube) = 1 + x + x (carré)
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x (cube) – x (carré) – x -1
_ Etudier les variations de f sur R
_ En déduire que En possède une unique solution positive (phi)3
_ Montrer que (phi)3 plus grand que ( phi)


2/ Généralisation
Soit n un entier naturel strictement positif
On considère l’équation En : Xpuissance n = 1 + x + x (carré) + … + x ( n-1)

2.1) En a une unique solution positive

a) Montrer que En revient à résoudre l’équation 1 = x puissance n (2-x ) avec x différent de 1
b) On considère la fonction Fn définie sur R par Fn(X) = x puissance n (2-x )
Etudier les variations de Fn sur R
En déduire que 1 ne possède que deux antécédents sur R+ . En déduire que En possède une unique solution positive (phi)n
c) On peut donc définir une suite de réels (phi n) pour n plus grand que 0 , (phi) n étant la solution positive de l’équation En . Montrer en utilisant les variations de Fn que (phi) n-1 plus petit que (phi)n et que donc la suite (phi n ) pour n plus grand que 0 est strictement croissante .

2.2) Encadrement et convergence de (phi)n

a) Montrer que pour tout n appartenant a N* , on a 2n / n+1 plus petit que (phi) n plus petit que 2
b) Etudier la convergence de (phi n ) pour n plus grand que 0

Indice =) On pourrait montrer qu’il existe une constante C plus grande que 0 telle que pour tout n entier naturel on ait : 2 – C / 2 puissance n plus petit que phi n plus petit que 2 – 1 / 2 puissance n . Cette inégalité nous montre la rapidité avec laquelle notre suite converge.

Ok merci beaucoup j'ai a peu pres compris même beaucoup mieux , par contre le théoreme des gendarmes c'est quoi ??? sinon c'est pas grave je trouverai ce theoreme dans un livre , merci beaucoup en tout cas , bonne soirée

ah oki
ben merci beaucoup en tout cas a+

salut a tous quelle est le nom du logiciel te permettant de faire c'est courbe sa m'aiderai beaucoup SVp


+++++

Non justement je ne trouve pas pareil car mon f' est différent du votre ...
car moi apres dans mon tableau de variation y figure pour les x que 0 2n/n+1 et + inf
als que vous il ya deux en plus ...
moi j'ai enfait mis sur x pour faire disparaitre nx^n-1 au début du calcul de la dérivée ...
enfait je comprends pas en quoi je retrouve les même variations que vous d'autant plus que j'ai une valeur en moins mais sinon je retrouve bien les variations qui apparaissent sur votre graphique de mapple 8 car c'est croisant et ensuite décroissant , voila désolé d'être si nul en maths ... merci beaucoup déja ... a+

Ce n'est pas parce que F(2)=0 que F'(2)=0
2 n'a aucune raison d'apparaitre dans le tableau de variation car il n'annule pas F'.
Moi je l'ai mise car cette valeur est intéressante vu qu'elle annule F

C'est décroissante désolé mais mes calculs restent valables, j'ai juste fait une faute d'écriture (car j'ai tjs considéré la fonction comme décroissante)