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DM de math sur les suites ...

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour, j’ai un DM a faire sur les suites pour la rentrée et j’avoue je suis un peu perdu donc si quelqu’un pourrai m’éclairer, ce serait super ! Je suis désolé de la façon ou j’ai tapé l’énoncé car je ne sais pas comment faire pour écrire les vrais sigles, vraiment désolé. Bon pour la première question je pense pouvoir m’en sortir, pour la seconde question aussi mais pour le reste je ne vois vraiment pas ! Donc voila si quelqu’un pourrait m’aider, merci d’avance …
Voici le sujet ci-dessous
Au revoir


On pose U(0) puis

U1 = 1 + 1/1

U2 = 1 + 1 / 1+1/1

U3 = 1 + 1/ 1 + 1 / 1 +1/1

… Un = 1 + 1 / 1 +1/ …+ 1 / 1+ 1/1

1/ Calculer les cinq premiers termes de la suite

2/ Ecrire une relation de récurrence vérifié par la suite (Un)n .

3/ Construire la courbe d’équation y= 1/ X + 1 dans un repère ortho normal puis visualisez la suite (Un)n sur le graphique . Conjecturez son comportement lorsque n tend vers l’infini. (Vous direz si la suite converge ou pas et donnerez une approximation à 10-4 de la limite éventuelle)

4/ On pose Vn = 0(barrée) * Un – o (barré )/ 0(barré) Un + 1 oû 0 (barré) est la solution positive de l’équation X(carré) – X – 1 + 0

a) Démontrer que 0(barré) au carré = 0 (barré) + 1 et que 1/0(barré) = 0 (barré) -1
b) Calculer Vo (Vous pourrez l’exprimer en fonction de 0 (barré)). Démontrer que la suite (Vn) n est une suite géométrique de raison – 1 / 0 (barré) au carré. Vous pourrez utiliser les relations du 4/a)
c) En déduire la limite de (Vn)n
d) A l’aide de la relation Vn= 0(barré) * Un – 0 (barré)/ 0(barré) Un + 1, exprimer Un en fonction de Vn. En déduire la limite de (Un)n.

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2/ Si j'ai bien lu, U(n+1)=1/(1+U(n)).

donc pour 1/

si U(0)=1 :) 
U(1)=1/(1+U(0))=1/2
U(2)=1/(1+U(1))=1/(3/2)=2/3
U(3)=1/(1+U(2))=1/(5/3)=3/5 ...

3/ Tracez la courbe demandée (C) et la droite (D) y=x
Ensuite partez de (x= 0, y=1) donc U(0). Il est sur la courbe (C).
Tracez la droite horizontale qui passe par ce point.
Ce droite coupe (D) en un point A.
Menez la verticale passant par A. Elle coupe la courbe C en un point qui est en fait U(1).
Retracer l'horizontale qui passe par U(1).
Elle recoupe (D) en un point B.
Re verticale. Re coupe de (C) cette fois-ci en U(2) etc...



4/ O barré c'est Phi aussi appelé nombre d'or. J'utiliserais P.

a) Par définition P²-P-1=0 donc P²=P+1.
Si vous divisez tout par P (qui est non nul) on a aussi P=1+1/P

b) V(0) simple application numérique
Pour démontrer qu'une suit est géométrique, calculez le rapport v(n+1)/v(n) et montrez qu'il est constant

c) comme la raison de la suite est plus petite que 1 en valeur absolue V(N) tend vers 0.

d) développez l'expression. Comme V(n) tend vers zéro, vous en déduirez que U(n) tend vers Phi.

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