dm de maths 2nd

La droite d'Euler:
soit ABC un triangle nn aplati, A', B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB] et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit H le point défini par : (nb:-> = vecteur)
->OH = ->OA+->OB+->OC

1) Déterminer le point H
a: Montrer successivement que :
->AH =->OA' , ->BH=->2OB' et ->CH=2->OC'
b: Placer le point H sur une figure
c: Montrer successivement que :
(AH)perpendiculaire(BC),
(BH)perpendiculaire(AC)
(CH)perpendiculaire(AB)
d: Que peut-on en déduire pour le point H?

2)Soit G le point défini par :
->GA+->GB+->GC = ->0
a: Montrer successivement que :
->AG = 2/3->AA'
->BG = 2/3->BB'
->CG = 2/3->CC'
b: Placer le point G sur la figure.
c: Montrer que pour tout point M du plan :
->MA+->MB+->MC = 3->MG
d: En déduir que ->OH = 3->OG
e: Que peut on en déduire de la question précédente?



Commentaire:
Dans 1 triangle, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'hortocentre sont alignés ; le droite passant par ces trois points est appelée le droite d'Euler.
De plus, on connait exactement la position relative de ces 3 points grace a la relation de la question 2)d