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crible de sierpinsky : probleme sur les suites , besoin d'aide .

Forum Etudes / Travail : crible de sierpinsky : probleme sur les suites , besoin d'aide .

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Bonjour a tous,

Voila je n'arrive pas à résoudre un probleme sur les suites, j'aimerais un petit coup de pouce.

Voici l'énoncé:

On réalise la construction suivante, à partir d'un carré blanc de coté 1:
Etape 1: On partage le carré en 9 carrés de mêmes dimenssions et on colorie en gris le carré centrale.
Etape 2: On partage en 9 chacun des carrés blancs restants et on colorie en gros le petit carré central.

On appelle Un l'aire de la surface blanche et Vn l'aire de la surface grise à l'étape n.
Ainsi U0=1, U1=8/9, V0=0

1) Quelle est à l'étape n,le nombre de carrés peints en gris ?
2) Montrer que la suite(Un) est une suite géometrique.
3) En déduire limUn et limVn lorsque n tend vers l'infini.

Merci beaucoup.

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1) Soit g(n) le nombre de carrés gris à l'étape n et b(n) celui de carrés blancs

On a par définition:

a) g(n+1)=g(n)+b(n)

En effet on garde les carrés gris d'une étape à l'autre et on colorie en gris le milieu de chaque carré blanc de l'étape précédente une fois celui-ci redivisé en 9 carrés.

b) b(n+1)=8*b(n)

En effet à chaque étape un carré blanc donne 8 autres carrés blancs et un 1 carré gris.

En posant g(0)=0, b(0)=1 on en déduit que

b(n)=8^n
g(n)=0 + b(1) + b(2) + ... + b(n-1) soit

g(n) = (8^n - 1)/7

2) Il faut raisonner comme en 1) en associant les 2 aires

V(n+1) = V(n) + U(n)/9
U(n+1) = U(n)*8/9

A chaque étape on mange un 1/9ème de la surface blanche en la coloriant en gris.

Par ailleurs

V(n)+U(n)=1

(les sous-carrés couvrent sans recouvrement l'intégralité du carré initial donc les 2 aires doivent toujours faire l'aire du carré initial)

Répondre à milmot

Un point amusant: le rapport b(n)/g(n) tend vers 7 donc 7 fois plus de carrés blancs que de carrés gris alors que prime abord on pourrait penser 8 :)

Répondre à milmot
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