crible de sierpinsky : probleme sur les suites , besoin d'aide .

une petite idée ?

1) Soit g(n) le nombre de carrés gris à l'étape n et b(n) celui de carrés blancs

On a par définition:

a) g(n+1)=g(n)+b(n)

En effet on garde les carrés gris d'une étape à l'autre et on colorie en gris le milieu de chaque carré blanc de l'étape précédente une fois celui-ci redivisé en 9 carrés.

b) b(n+1)=8*b(n)

En effet à chaque étape un carré blanc donne 8 autres carrés blancs et un 1 carré gris.

En posant g(0)=0, b(0)=1 on en déduit que

b(n)=8^n
g(n)=0 + b(1) + b(2) + ... + b(n-1) soit

g(n) = (8^n - 1)/7

2) Il faut raisonner comme en 1) en associant les 2 aires

V(n+1) = V(n) + U(n)/9
U(n+1) = U(n)*8/9

A chaque étape on mange un 1/9ème de la surface blanche en la coloriant en gris.

Par ailleurs

V(n)+U(n)=1

(les sous-carrés couvrent sans recouvrement l'intégralité du carré initial donc les 2 aires doivent toujours faire l'aire du carré initial)

merci beaucoup