Exercice sur les fonctions

Bonjour,

Je n'arrive vraiment pas à terminer cet exercice, j'y ai passé 6h hier...
Je vous recopie mes réponses et les questions sur lesquelles je sèche. J'espère que vous pourrez me dire si j'ai juste et m'aider à terminer cet exercice.



Soit f la fonction définie sur R - {1} par f(x) = x²/(x²-2x+1) et C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (0, i, j) d'unité graphique 1 cm.

1) a. Déterminer le signe de x²-2x+1 pour x appartenant à R - {1}.
delta = 0 donc x²+2x+1 est du signe du coefficient en x², soit positif.

b.En déduire lim f(x) x->1 x inférieur à 1 et lim f(x) x->1 x superieur à 1.
f(x) x->1 x inférieur à 1 = - infini lim f(x) x->1 x superieur à 1 = + infini

c. Interprétez graphiquement les résultats de la question précédente.
La droite d'équation x=1 est asymptote verticale à la courbe C.

2) a. Déterminer trois réels a, b, c tels que pour tout x appartenant à R - {1}, f(x) = a + b/(x-1) + c/(x-1)²
Là je ne sais vraiment pas comment faire et par où commencer  

b. Calculer lim f(x) x-> - infini et lim f(x) x-> + infini. En déduire l'existence pour la courbe C d'une asymptote.
lim f(x) x-> - infini = 1 lim f(x) x-> + infini = 1
La droite d'équation y=1 est donc asymptote horizontale à C en + infini et en - infini.

3) a. Calculer f'(x). Vérifier que le signe de f'(x) est celui de -2x²+2x.
b. Determiner les variations de la fonction f à l'aide d'un tableau de variations
f'(x) = [2x (x²-2x+1)-(2x-2)x²]/(x²-2x+1)²
f'(x) = (-2x²+2x)/(x-1)^4
(x-1)^4 est strictement positif sur R - {1} donc f'(x) est du signe de -2x²+2x
delta = 12 delta est superieure à 0 donc il y a deux solutions possibles :
x1 = (-2 - racine de 12)/ 2*-1 = (2+2 racine de 3)/4 = environ 1.366
x2 = (-2 + racine de 12)/2*-1 = (2-2 racine de 3)/4 = environ -0.366
Tableau du signe de -2x²+2x :
- infini x2 0 1 x1 + infini
- 0 - || || - 0 -
Je ne suis pas du tout sure pour les 2 barres pour 0 et 1. S'il ne faut pas les mettre entre 0 et 1 c'est +
f est une fonction inverse et f' est inférieur à 0 donc f est décroissante sur R - {0;1}. Tableau de variations de f :
valeurs de x : - infini x2 0
variations de f : + infini, fleche qui descend, 0, fleche qui descend, -infini||
valeurs de x : 1 x1 +infini
variations de f : || +infini, fleche qui descend,0,fleche qui descend,-infini
Comme pour le premier tableau je ne suis vraiment pas du tout sure

4) Determiner une equation de la tangente T1 à la courbe C au point d'abscisse 0 et une éqation de la tangente T2 à C au poin d'abscisse 4.
Ici je ne sais pas s'il faut prendre f(x) = x²/(x²-2x+1) ou f(x) = x²-2x+1 et f'(x) = (-2x²+2x)/(x-1)^4 ou f'(x) = -2x²+2x. Alors j'ai fait le calcul pour les deux. Lequel est le bon ?? :
y = f'(0)(x-0)f(0)
-avec f(x) = x²/(x²-2x+1), f(0) = 0 avec f'(x) = (-2x²+2x)/(x-1)^4, f'(0)=0
donc y = 0(x-0)+0 soit y=0
-avec f(x) = x²-2x+1, f(0) = 1 avec f'(x) = -2x²+2x, f'(0)=0
donc y = 0(x-0)+1 soit y=1

-avec f(x) = x²/(x²-2x+1), f(4) = 16/9 avec f'(x) = (-2x²+2x)/(x-1)^4, f'(4)=-8/27
donc y = (-8/27)(x-4)+ 16/9 = (-8/27)x +80/27
-avec f(x) = x²-2x+1, f(4) = 9 avec f'(x) = -2x²+2x, f'(4)=-24
donc y = -24(x-4)+9 = -24x+105

5) Representer graphiquement T1, T2 et C.
??????



Voilà j'ai fini. Je sais que c'est long mais cet exercice est super important pour moi. Merci à ceux qui ont pris la peine de me lire (j'espere que j'ai ete claire) et de m'aider