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enigme (exo de maths)

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour à tous, voilà un exo qu'on m'a posé (apparement tiré d'olympiades). Niveau de connaissance 1ereS mais assez difficile du point de vue du concept.

Soit P le polynôme de degré 2000 tel que pour tout entier n, 0<=n<=2000, on ait :
P(n)=n/(n+1)

Calculer P(2001).
aide : poser Q(x) = (x + 1)P(x) - x.

Edit : désolé si certains ont commencé a chercher, les inégalités sont larges et non strictes.

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J'en ai un autre :
Résoudre dans IR l'équation :
x=1+ 1
. --------------------
. 1 + 1
. -------------
. 1+ 1
. --------
. 1+ 1
.(etc) -----
. ......
. ......
. 1+ 1
. ---
. x

En tout, il y a 50 traits de fractions (ne m'en voulez pas de ne pas avoir tout écrit)

Bon je précise tout de suite que le gros bourrin qui essaie d'isoler 'x' par les méthodes classiques risque d'en avoir pour un sacré moment....

1°)Le pb de l'interpolation est que déjà ce n'est pas au programme du lycée (un élève de 1ere doit pouvoir le faire normalement)et qu'on obtient une somme de 2000 poynomes à factoriser : enfin ca marche mais c'est la merde pour calculer P(2001)...Il y a plus simple
2°)C'est la bonne façon de modéliser le truc (apres c'est de l'étude de suite)

Salut,
pour la premiere enigme, n'aurait-on pas P(2001)=1000/1001 ?

Ca me parait évident, non? ;) 
Spoiler

En fait, l'idée de départ, c'est que Q(n) vaut 0, pour tout n entre 0 et 2000 (on a donc trouvé 2001 racines au polynome Q). Or Q est de degres 2001, donc on a trouvé toutes ses racines, et on peut ainsi le factoriser:
Q(x)=K.[(x-0)(x-1)(x-2)...(x-2000)]

Pour le calcul de la constante K, on utilise le fait que Q(-1)=1,
ce qui nous donne:
K[(-1-0)(-1-1)(-1-2)...(-1-2000)]=1
<=>K.(-1)^2001.[1.2.3.4...2001]=1
<=>K=-1/(2001!)

On va en avoir besoin juste apres, donc on le calcule maintenant Q(2001):
Q(2001)=K.[(2001-0)(2001-1)(2001-2)...(2001-2000)]
=K.2001!
=-1


Or, on a la relation suivante:
Q(2001)=2002.P(2001)-2001 <=> P(2001)=[Q(2001)+2001]/2002

Cequi nous donne bien P(2001)=(2001-1)/2002=1000/1001 :) 


Menfin bon, les polynomes de Lagrange c'est bien aussi ;) 

20/20 Halike ;) 
Bon, je vais faire une petite énigme aussi, mais beaucoup plus facile :D 

On prend un nombre à 2 chiffres, on y soustrait le chiffre des dixaines, puis on y soustrait le chiffre des unités. Montrer que le résultat est multiple de 9.
Exemple: 63 - 6 - 3 = 54 qui est bien multiple de 9.

si n=ab (les chiffres dizaines et unités)

alors n-a-b=a*10 - b - a + b = a*9 donc CQFD
Une autre dans le meme style :

pour des multples de 5 impairs, on a une technique de calcul des carrés :

35²=1225 (3*(3+1) a qui on accole 25)
45²=2025 (4*(4+1) a qui on accole 25)
idem pour
105² = 11025 (10*(10+1) a qui on accole 25)

Pourquoi ce résultat est tjs vrai ?

(maintenant vous pourrez calculer le carré d'un nombre finissant par 5 en 2 secondes)

Petite coquille car (1+rac(5))/2 > 1 ....Ma calculette me donne (1+rac(5))/4 (lol)
cela dit je cherche un moyen de trouver cette valeur....

En attendant j'ai un truc pour calculer les racines 3emes à deux chiffres des cubes parfaits....prenons un exemple :
24^3 = 13824

Le chiffre des unité est 4 donc le chiffre des unité de la racine 3eme est 4
Vu l'ordre de grandeur, 20^3 = 8000 trop petit ; 30^3=27000 trop grand donc la racine cubique est 24 .....

En fait il y a bijection entre le chiffre des unités du chiffre et celui de son cube :
nb--->nb au cube
1--->1
2--->8
3--->7
4--->4
5--->5
6--->6
7---->3
8--->2
9---->9

Donc rien qu'en ayant le cube, on sait par quel chiffre se termine la racine cubique, apres avc les ordres de grandeurs (calculs tres faciles) on trouve le nombre

autre exemple :
79507 donc le chiffre cherché se termine par 3

et vu l'odre de grandeur (avc l'habitude, rien qu'en regardant le chiffre on trouve imédiatement l'ordre de grandeur), on essaie avc 50 : 50^3 = 125000
40^3=64000 donc racine3eme(79507)=43


Sinon pr l'histoire du cos, je pense qu'en partant des racines 5eme de l'unité et des complexes, on devrait aboutir.....Mais trop chiant à calculer....

Oui, j'ai mal placé le 2, j'ai corrigé :) 
J'ai oublié de dire que le nombre d'or était aussi le fameux 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + ...))

EDIT:
Bon j'ai retrouvé la solution sur un site (oui parce que ça s'oublie vite ce genre de truc :D )
Et il faut d'abord montrer que justement cos(2pi/5) = (-1+Rac(5))/4 en passant par la résolution d'une équation polynomiale du second degré.

Je pensais à x^5-1 = 0 dont les solutions st les racines 5emes de l'unité dont exp(i*Pi/5) et vu que x^5-1=(x-1)(1+x+x²+x^3+x^4)
alors (1+x+x²+x^3+x^4) appliqué à exp(iPi/5) vaut 0 et on connait toutes les racines qui sont les racines 5eme de l'unité sans le "1"
donc on a le polynome ss forme factorisée....apres en regroupant correctement (les exp(i*k*Pi/5) avc les exp(-i*k*Pi/5) (pr faire apparaitre justement des cos(Pi/5) et cos(2Pi/5) )...ensuite reste a identifier avc la forme précédente....
Je crois que cette méthode de recherche de racines est effectivement connue car ca me dit qque chose.....

J'en ai une choppée sur le net (bon y avait la réponse juste à coté donc bon...aucun mérite).....
On prend 10 personnes assises en cercle et on donne un jeton par personne (jetons numérotés de 1 à 10)...Chaque personne gagne en euros la somme de son numéro avc les numéros de ses voisins de droite et de gauche....
Montrer que quelle que soit la répartition, il y a au moins une personne qui gagne + de 17 euros...

Celle la n'est pas tres difficile (tu nous as déja donné pire... ;)  ).

Spoiler
Il suffit de calculer le gain moyen par participant:
La somme de tous les gains des participants vaut 3.(somme des jetons)
Soit 3.55=165.
L'esperance vaut donc 165/(nombre de participants)=16.5
Or, les participants recoivent un gain de valeur entiere, donc il y a au moins un participant qui recoit moins de 16 euros, et un qui recoit plus de 17 euros.


Pour le coup, je pense que cette enigme ci ne necessite que peu de connaissances mathématiques ;) 
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