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DM de maths aider moi svp!!!!

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

bonjour, je suis en 3eme et mon prof' de maths ma donner un DM j'espere que
vous pouvez m'aider moi j'y comprend rien, le voici:
desoler je n'arive pas a faire le signe " racine carrés " donc je le ferait comme ceci √

Le but de ce probleme est de demontrer que √2 n'est pas un nombre rationnel.
pour cela on utilise un raisonnement par l'absurde. Ce type de raisonnement très utilisé en
mathématiques,consiste à supposer le contraire de la conclusion et d'aboutir a une contradiction.

nous suposerons donc ici, que √2 est rationnel. tout nombre rationnel pouvant s'écrire sous la forme
d'une fraction irréductible, il existe donc deux entiers a et b non nuls et premiers entre eux

tel que √2= a/b ( c'est a dire a sur b = a diviser par b )

1)a) montrer que a²=2b². (penser a elever l'équation ci-dessus au carré)
b) en déduire la parité de a² puis celle de a. justifier

2)a)On a montré dans la premiere question que a était pair. En déduire que b est impair.
b)a étant pair, nous pouvons l'écrire sous la forme 2p avec p entier non nul.
Montrer que b²=2p² ( reprendre l'équation du 1)a) et changer a en 2p ).
En déduire la parité de b. justifier
c)Quelle contradiction a t-on aors?

3) conclure.
merci

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Bon j'ai pas lu les questions mais la démo est hyper classique (pour des lycéens bien entendu)...
supposons V(2)=a/b qui est une fraction irreductible...
donc 2=a²/b² (en élévant au carré) donc a²=2b² donc a² est pair (car a²=2*un entier) donc a est pair (decomposer a en facteur premier pour s'en rendre compte) donc a² est divisible par 4 (car si 2 divise a alors 2²=4 divise a²) donc b² est pair car b²=a²/2 qui est pair vu que a² est divisible par 4 ; donc meme raisonnement b est aussi pair....
Du coup la fraction a/b n'est pas irreductible d'où la contradiction...donc V(2) n'est pas rationnel...

Non, il ne faut pas le rendre comme cela mais la démo que je propose est ce que ton énoncé propose de faire en "découpant" en petites sous questions...Normalement, ca devrait t'aider à comprendre car j'explique dans les grandes lignes le raisonnement à suivre sans rentrer dans les détails (je ne vais qud meme pas te faire l'exo en entier)....

en gros :
- si V(2) rationel alors V(2)= a/b (fraction irreductible)
- or a est pair et b est pair (cf raisonnements proposés dans tes questions)
- donc a/b n'est pas irreductible (ben oui on peut simplifier par 2)...
- Du coup il y a une contradiction donc V(2) n'est pas rationnel...
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