Maths Ts Urgent Suites

voila j'ai un dm a rendre jeudi et je coince sur les exo
Soit Un la suite numérique définie sur N par U0=0 et Un+1= racine de (3Un+4)
1 a Montrer que Un est majorée par 4 (ça j'ai réussi)
b Montrer que Un est strictement croissante (réussi)
c En déduire que Un converge et déterminer sa limite (réussi)
2Montrer que pour tout entier naturel n on a 4-Un+1 < (ou égal) 1/2(4-Un) (La je bloque...)
3 Montrer que pour tout entier naturel n on a 0 < (ou égal) 4-Un < (ou égal) 1/(2^n)*4 (ici j'arrive à montrer que 4-Un>o par récurrence mais je ne peux pas monter l'autre partie)
4 Etudier la convergence de la suite Vn définie par Vn=n au carré *(4-Un) (Je n'ai pas encore essayé parce que je bloque sur les 2 d'avant)
J'ai l'exo en entier merci d'avance pour votre aide j'en ai vraiment besoin

La limite c'est 4

pour que je puisse vous aider j'aimerais bien savoir ce devoir est posé a quel niveau?

Bonjour,
voici ce que je te propose:

2) j'ai rien trouvé de bien évident...
ON veut montrer que 4-U(n+1) < 1/2.(4-U(n).
C'est équivalent à montrerque:
-2-U(n)/2+U(n+1)>0
Soit, en fonction de U(n) uniquement:
rac(3.U(n)+4)-2-U(n)/2>0.

Pour porouver cela, je pose f(x)=rac(3x+4)-2-x/2.
J'étudie les variations de f sur IR+:
f'(x)=(3x-1)/(rac(3x+4)) [sauf erreur de ma part]
Or f(1/3)>0, donc en en déduit que f(x)>0, pour tout x positif.

Or, pour tout n, U(n) est positif, donc f(U(n))>0, ce qui donne le resultat.

3)*comme u(n) est croissante et que sa limite est 4, on sait que 4-u(n)>0 pour tout n
*D'apres la question 2, on sait que:
pour tout n, 4-U(n)<1/2.(4-U(n-1))
En utilisant cela, et un raisonnement par recurrence, c'est facile de montrer l'autre morceaude l'inégalité:
INITIALISATION:
4-U(0)=4
1/(2^0)*4=4
On a bien 4<4 [pour ne pas alourdir, " "veut dire "< ou egal" )]
RECURRENCE:
on suppose que 4-U(h)<1/(2^h)*4
On a 4-U(h+1) < 1/2*(4-U(h))
Donc 4-U(h+1) < 1/2*1/(2^h)*4
soit 4-U(h+1)<1/(2^h+1)*4 CQFD

4)pour tout n, V(n)>0 (je te laisse le montrer, c'est facile)
On sait que 4-U(n)<1/(2^n)*4
Donc V(n)<n²/(2^n)*4

Or la suite n²/(2^n) tend vers 0 [c'est un résultat de cours normalement.En gros, le théorme des croissances commarées dit -entre autres- que "machin puissance n est plus fort que n'importe quelle puissance de n", donc 2^n "va l'emporter" par rapport à n², ce qui fait que le rapport des deux tend ver 0. ]
Ensuite, le théorème des gendarmes te dit que la suite V(n) est convergente, et que sa limite vaut 0.


Voila, j'espere avoir clarifié un peu les choses pour toi.
Si tu as besoin de précisions, n'hesite pas
Bonne journée.

Mais pquoi tu prends pas ma solution ca fait 2 lignes !!!!
il suffit juste de dire que (Un/2-Un+1)<= 4/2-0=2 (car ta suite est croissante donc inferieure à sa limite, positive donc superieure à 0) et c'est fini !!!

je vous remercie pour vos réponses j'ai terminé