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dérivés des fonctions sinus et cosinus

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

pour tous réels a et b :
sin (a + b) = sin (a) cos (b) + sin (b) cos (a)
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b)
cos (2a) = 1 - 2 sin^2 (a).
On admet que lim x ten vers 0 sin x/x = 1


1. a) h est un réel non nul. justifier les égalités suivantes:

[1 – cos(h)] / h = [2(sin^2 h/2)] / h = (sin h/2)/(h/2) * sin h/2

b) Determiner les limites de sin h/2 et (sin h/2) / (h/2) lorsque h tend vers 0.

c) En déduire la limite de [1 - cos(h)] / h lorsque h tend vers O.

2. a) Démontrer que pour tout réel a et pour tout réel h différent de 0,
[ sin(a+h) - sin(a) -] / h = - sin(a) * [1 - cos(h)] / h + cos(a) * sin(h) / h

b) En déduire que la fonction sinus est dérivable en a et donner sin’ (a).
3. Démontrer que la fonction cosinus est dérivable en a et donner cos' (a) .


a la question 1a), j'ai trouvé la solution, je trouve
cos(2a) = 1-2sin^2(a) donc
cos(2a/2) + 2sin^2(a/2) = 1 donc
2sin^2(a/2) = 1 - cos(2a/2) donc
2(sin^2 a/2) = 1 - cos(a) soit
[2(sin^2 a/2)] / h = [1 - cos(a)] / h

a la question 1b), je pense avoir trouvé la solution mais je ne suis pas sur. Je dirai
lim sin h/2 = 0 et
lim [sin h/2] / (h/2) = 1 (comme lim sin x/x = 1 )

a la question c), je pense que la limite est 0, mais comment justifier ?
Est-ce parce que lim[sin h/2] / (h/2) * lim sin h/2 = 1*0 = 0 ?

ensuite, je n'arrive pas a la question 2 a), je bloque.
J'ai cherché a developper plusieurs choses, telles que :
sin(a) = [sin(a+b) - sin(b)cos(b)] / cos(b)
sin(a) = [cos(a+b) - soc(a)cos(b)]/ -sin(b)
sin (a+h) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

aidez moi s'il vous plait
merci beaucoup d'avance

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Bonjour,
Je suis d'accord avec tes réponses pour la question 1).
Pour 1c), c'esteffectivement 0 (tu n'as qu'a retenir que "un truc qui tend vers 0" fois "un truc qui tend vers un réél" ca tend vers 0 )

Pour la 2a), il suffit de remplacer sin(a+h) par sin(a)cos(h)+sin(h)cos(a). Ensuite, la formulation demandée arrive presque toute seule :) .
Pour le 2b), on revient a la definition de la derivabilité en a:
il faut montrer que [sin(a+h)-sin(a)]/h admet une limite quand h tend vers 0. Grace a la question 2)a), et aux resultats de la 1), tu montres facilement que sin est derivanleen a, et que sin'(a)=cos(a) [a cepropos, tu viens de demontrer un resultat fondamental, a savoir que la dervivee de la fonction sinus, c'est la fonction cosinus]
3)Cette question est presque identique a la question 2), on va juste remplacer le sinus par le csinus (en gros :)  ).
On veut montrer que cos est derivable en a. Revenons a la definition:
[cos(a+h)-cos(a)]/h admet-elle une limite quand h tend vers 0 ?
La réponse est oui!:)  Et tu le montres toujours aussi facilement en réécrivant cos(a+h) grace a la formule cos(a+b), puis en factorisant intelligement pour faire apparaitre des quantités connues (du genre [cos(h)-1]/h ).
Au final, tu vas montrer le deuxieme resultat fondamental: la dervivée de cosinus, c'est -sinus (attention au signe ;)  ).


Si tu as d'autres questions, n'hesite pas.

Bon courage :) 
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