dm math tré galere

Bonjour, j'ai un dm de math mais j'ai beaucoup de mal !!

Voici l'énoncé

On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f' sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes
(1) pour tout réel x, (f'(x))²-(f(x))²=1
(2) f'(0)=1
(3) la fonction f' est dérivable sur R

1.a Démontrer que pout tout réel x, f'(x) different de 0

J'AI REUSSI

b. Calculer f(0)

J'Ai Réussi

2.En dérivant chque menbre de l'égalité de la proposition (1), démontrer que
(4) pour tout réel x, f''(x)=f(x) ou f'' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f

J'ai reussi

3.On pose u= f'+f et v = f'-f

a) calculer u(0) et v(0)

b) démontrer que u'=u et que v'=-v

c) En déduire les fonction u et v

d) En déduire que pour tout réel x, f(x) =( e^x-e^-x)/2

j'ai pa reussi cette aprtie merci de votre aide

Bonsoir,
tu vas voir, c'est tres facile...
Que vaut la fonction (u-v)/2 ? (en fonction de f et f') ?

Ca va mieux comme ca?

[edit]mince, j'ai cru que tu bloquais juste pour le d)... Je lirai mieux la prochaine fois. Heureusement, super abel est la

Fais-le en deux temps si c'est trop dur...

1) c'est quoi la dérivée de (e^x)/2 ?
2)c'est quoi la dérivée de (e^-x)/2 ?

La dérivée de la somme étant la somme des dérivées, tu obtiens le resultat voulu. Non?

Ah non.
Je pense qu'il va falloir revoir ton cours sur l'exponentielle...

La dérivée de e^x, c'est e^x.

Non, car exp(-x) est la composée de exp avec -id c'est à dire que exp(-x) = (exp o(-id)) (x) donc en posant f=exp et g=-id et en utilisant la formule de dérivation de fog tu devrais tomber sur autre chose ( (fog)' = g' * f'og ).

D'une maniere plus générale : (exp(u(x)))' = u'(x) * exp(u(x))