Bonjour, je n'arrive pas trouver la solution de cet exercice de 2nd sur les nombres:
Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 3:
on pose: a = P+1 et b = P-1 2 2
1°) justifier que a et b sont des entiers.
2°) Exprimer a² - b² en fonction de p.
3°) Démontre que tout nombre premier p>3 peut s'écrire comme différence de deux carrés d'entiers. Donner cette différence pour p = 29.
s'il vous plait repondez moi c'est urgent et super important.
Message édité par surfactory83 le 22-10-2006 à 15:32:45
1°) Si p est premier, il est forcément impair (sinon il serait divisible par 2, donc pas premier). A ce moment-là, p+1 est pair puisqu'il est consécutif à p ; pareil pour p-1.
Et s'ils sont pairs, chacun est divisible par 2 en donnant un entier.
2°) Là faut juste développer
Si tu coinces, je te rappelle les égalités remarquables :
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
(a+b)(a-b)=a²-b²
3°) Et ça, tu le verras une fois que tu auras fait la question 2°)
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Oui mais pour la 2°), p je le remplace par quoi????
Moi je pense que c'est par 3 mais je ne suis pas sur, quelqu'un pourrait me le confirmer ou me donner la bonne réponse??
Pour la 2°), tu ne remplaces pas p puisque tu exprimes en fonction de p.
Tu fais a²-b² donc ((p+1)/2)²-((p-1)/2)²
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ensuite, tu développes et simplifie si tu peux :-)
Pour la 3, tu remplaces par 3, puis par 5 (pour le >=).
Tu pars du principe que c'est valable pour n.
Après, il faut que tu démontres que c'est aussi valable pour les suivants (je pense)
mince, je me souviens plus du nom de ce type de démonstration mais j'adorais ça !
Message édité par szdavid le 23-10-2006 à 17:36:04
C'est "par récurrence"
Tu démontres que c'est valable au rang n (ici avec n=3) et que si c'est valable au rang n, alors c'est valable au rang n+1
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Ok donc pour la 2°) je fais:
a² - b²
= ((p+1)/2)² - ((p-1)/2)²
= (p²+1²)/2² - (p²-1²)/2²
= (p²+1)/4 - (p²-1)/4
= 0 non ce n'est pas possible j'ai du faire une erreur.pouvez vous m'indiquer la bonne réponse.
Je reprends le 2°) au cas où
a²-b²=((p+1)/2)²-((p-1)/2)²
=[(p+1)/2 + (p-1)/2]*[(p+1)/2 - (p-1)/2] (égalité remarquable)
=[(p+1+p-1)/2]*[(p+1-p+1)/2]
=(2p/2)*(2/2)
=p
Ce qui te sert de démonstration pour le 3°)
Quel que soit p entier supérieur ou égal à 3 (on n'a pas posé d'autre condition pour p), les nombres a et b tels qu'on les a définis existent et sont des entiers.
Et on vient de voir que p=a²-b² (toujours sans poser d'autre condition particulière pour p ; donc on peut considérer que c'est toujours vrai).
A ce moment-là, on a bien tout nombre p égal à la différence de deux carrés entiers.
C'est peut-être un peu boiteux, mais ça me semble logique, non ?
[Edit]Au passage, désolé pour la récurrence. J'avais encore regardé en diagonale et j'ai pas vu que ça ne s'appliquait pas ici[/Edit]
Pour p=29, on a :
a=(29+1)/2=30/2=15
b=(29-1)/2=28/2=14
Vérification : a²-b²=15²-14²=225-196=29
Message édité par Glublutz le 24-10-2006 à 06:28:33
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