devoir preparation au capes à faire pour la rentrée
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Bonjour,
j'ai un devoir à rendre à la rentrée en préparation au CAPES en maths, et j'ai un petit problème dans la partie analyse je ne sais pas tro quoi utiliser j'espère que vous allez mieux m'éclairer dessus
je rappelle un peu les notations du devoir avant..
I est un intervalle de : I = ]0,+inf[ ou [0,+inf[ ou ]-inf,0[ ou ]-inf,0] ou lui-même
On a l'équation :
f :I une application dérivable sur C (ensemble des nombres complexes)
On note S(I) l'ensemble des solutions de l'équation E(I)
On a établit Partie II . B. 1 : si f est un élément de S(I) alors par récurrence, pour tout n, f est (n+1)-fois dérivable sur I\{0} et pour tout x appartenant à I\{0}, f^(n+1)(x) = (x / 2^n)f^(n+1)(x/2)+ (n / 2^n-1)f^(n)(x/2)
On utilise le résultat précédent dans la Partie III.A.1 et on montre que si fS(I), alors pour tout k, l'application x--> x^kf^(k)(x) appartient à S(I).
et donc on en vient à la partie III.A.2 où j'ai un problème :
Soit f appartenant à S(I) et non identiquement nulle.
III.A.2.a S(I) est un ev sur C de dimension finie
Montrons que f est solution sur I d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre q où q est compris entre 1 et dim S(I).
Dois-je utiliser la question précédente afin d'y arriver?
j'avoue que je suis perdu éclairez moi svp merci d'avance ;-)
j'ai un devoir à rendre à la rentrée en préparation au CAPES en maths, et j'ai un petit problème dans la partie analyse je ne sais pas tro quoi utiliser j'espère que vous allez mieux m'éclairer dessus
je rappelle un peu les notations du devoir avant..
I est un intervalle de : I = ]0,+inf[ ou [0,+inf[ ou ]-inf,0[ ou ]-inf,0] ou lui-même
On a l'équation :
f :I une application dérivable sur C (ensemble des nombres complexes)
On note S(I) l'ensemble des solutions de l'équation E(I)
On a établit Partie II . B. 1 : si f est un élément de S(I) alors par récurrence, pour tout n, f est (n+1)-fois dérivable sur I\{0} et pour tout x appartenant à I\{0}, f^(n+1)(x) = (x / 2^n)f^(n+1)(x/2)+ (n / 2^n-1)f^(n)(x/2)
On utilise le résultat précédent dans la Partie III.A.1 et on montre que si fS(I), alors pour tout k, l'application x--> x^kf^(k)(x) appartient à S(I).
et donc on en vient à la partie III.A.2 où j'ai un problème :
Soit f appartenant à S(I) et non identiquement nulle.
III.A.2.a S(I) est un ev sur C de dimension finie
Montrons que f est solution sur I d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre q où q est compris entre 1 et dim S(I).
Dois-je utiliser la question précédente afin d'y arriver?
j'avoue que je suis perdu éclairez moi svp merci d'avance ;-)
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je propose une rédaction dites moi si c'est juste ou non..ce qu'il faut changer
Soit f une application de S(I)
Donc d'après III.A.1 , pour tout entier naturel k, l'application x --> x^kf^(k)(x) appartient à S(I)
De plus, d'après II.A.1, S(I) est un espace vectoriel sur C non réduit à {0} et par hypothèse on sait que S(I) est de dimension finie.
On en déduit donc que ,pour 1<q<dim S(I), les applications x--> x^qf^(q)(x) sont linéairements indépendantes.
Par conséquent f est solution de l'équation : x^qf^(q)(x) + x^(q-1)f^(q-1)(x)+ ...+ xf'(x)+ f(x) = 0 équation différentielle linéaire homogène d'ordre q.
Soit f une application de S(I)
Donc d'après III.A.1 , pour tout entier naturel k, l'application x --> x^kf^(k)(x) appartient à S(I)
De plus, d'après II.A.1, S(I) est un espace vectoriel sur C non réduit à {0} et par hypothèse on sait que S(I) est de dimension finie.
On en déduit donc que ,pour 1<q<dim S(I), les applications x--> x^qf^(q)(x) sont linéairements indépendantes.
Par conséquent f est solution de l'équation : x^qf^(q)(x) + x^(q-1)f^(q-1)(x)+ ...+ xf'(x)+ f(x) = 0 équation différentielle linéaire homogène d'ordre q.
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