Math Racine equation
Forum Etudes / Travail : Math Racine equation
Bonjour a tous,
je dois calculer les racines de l'équation suivante:
f(x)=sin(x)-exp(-x)
donc:sin(x)-exp(-x)=0
quelqu'on saurait-il comment m'y prendre?
Merci d'avance, c'est très important
Thomas
Il y en a une infinité et je suis pas sûr qu'on soit en mesure de les expliciter toutes. On peut peut etre en trouver certaines avc le theorme des valeurs intermediaires par des encadrements mais sinon je vois pas comment expliciter les solutions avc des fonctions connues...essaie peut etre sinon de dire que sin(x) = Im(exp(ix)) et de bidouiller avc ça mais je pense pas que tu aies vu les exponentielles complexe (je parle de l'étude complète).
Peut etre que ca peut se negocier avc un tableau de variation sinon en dérivant et tout ms bon l'eude de signe sera complexe a mon avis
Sinon on ne t'a pas préciser un intervalle pr résoudre ton equation ????
En fait je dois calculer les valeur des racines avec une méthode d'approximation (secant method), ceci a été fait sans aucun socis, mais je dois vérifier que les résultats sont correct.
Le problème c'est que je ne me souviens plus comment résoudre ce type d'équations, puisque comme tu le dis, c'est une équation non linéaire qui n'a qu'une limite en + l'infini.
Je ne dois vérifier que les valeurs que des 4 premières, si cela peut aider, mais a partir du moment ou on a trouvé les 2 premières racines, il suffit simplement de rajoute un multiple de pi pour trouver la suivante.
Je te remercie pour ton aide.
Thomas
Le problème c'est qu'en général les solutions exactes ne sont pas exprimables à partir de fonctions existantes connues ou alors il faut avoir du bol(comme pr bcp des polynome de d°>=5) donc ce sont des réèls qui sont définis comme étant racine de telle ou telle equation...
Sinon la methode qu'on utilise en général (quand ca marche c'est de prendre le ln d'où -x=ln(sin(x)) (en faisant attenstion au domaine de definition)
ensuite tu dérives l'égalité : d'où :
cos(x)/sin(x)=1 <=> cotan(x) = 1
d'où les variations de la fonction de départ. maintenant on connaît les extremum de la fonction...ensuite je vois pas comment trouver les points d'annulation : moi je ferais par dichotomie entre les extremum qui sont a mon avis un coup <0 un coup >0 ms ca ne donne que des valeurs approchées..peut etre qu'il faut monter que ta methode precedente marche car tes valeurs approchées sont semblalbes a celle trouvées par dichotomie...
PS : Je viens de rentrer l'equation dans Maple (logiciel de calcul puissant) et voilà ce qu'il me sort : " RootOf(_Z + ln(sin(_Z))) " (ce qui est une equation equaivalente a la tienne) qud je lui demande de resoudre. A mon avis ca veut dire qu'il n'existe pas de fonction connues pr exprimer les racines donc ca ne doit pas etre possible à faire...
En tous cas je suis interessé si tu trouves le moyen de résoudre ça exactement.
Je viens de penser que peut etre en utilisant un developpement limité type taylor lagrange our Mac Laurin ca serait plus facile a faire. Je pense qu'en faisant un DL a l'ordre 4, ca pourrait marcher.
Je te tiens au courant, pour les résultats si j'arrive a trouver.
En tout cas merci pour ton aide.
Thomas
PS: saurais tu comment effectuer cette opération avec Matlab?
Dsl je connais pas du tout matlab (juste de nom)
sous maple la syntaxe c'est :
solve(equation,inconnue);
Ca doit etre semblable pr matlab qui est tres puissant parait il.
Pour ce qui est des DL je vois pas comment ca pourrait marcher car un DL n'est valable que sur un voisinage infiniement proche d'une valeur donc il faudrait connaitre des racines a-priori ou on ne pourra se contenter que d'une approximation de la solution encore une fois mais seulement dans le cas où celle ci est tres proche de 0 (ou de la valeur a laquelle on fait le DL) donc il faudra de ttes facon faire un raisonnement par dichotomie pr trouver un bon encadrement.
Sinon, peut etre qu'un developpement en serie entiere pourrait nous aider...
car les 2 fonctions sont simplement développable en SE... et on devrait tomber sur un truc du genre somme (des an*x^n) = 0 ...le pb c'est que tu vas te retrouver une somme infinie donc ca va etre tres tres dur au niveau des calculs...
Sinon une autre methode est de constater qu'a priori il y a des solution dans [0,2Pi] et de faire un developpement en serie de fourier de exp(-x) sur [0,2Pi] car les coefficient de fourier ne seront pas compliqués à trouver...Peut etre qu'apres on peut trouver des factorisations interessantes...pr trouver des solutions (qui ne seront valables que sur [0,2Pi]
PS : Je viens de trouver une solution graphiquement comprise entre 0.58 et 0.59 aprs il faut peut etre faire un DL2 en 0.585 pr trouver une meilleure valeur approchée...
En fait, je n'ai pas réussi a calculer cette méthode, mais ce que j'ai fait c'est définir de combien pouvait etre l'erreur sur mon approximation, ce qui est plus facile a définir.
Merci beaucoup pour ton aide
Thomas
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