PB Exo Maths 1ère ES Dérivation

Bonjour à tous  ,
Voilà j'ai un dm de maths à faire et j'ai réussi deux exos sur 3, le voici:



Pour une entreprise dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total de fabrication en euros de x unités est donné par la fonction:

CT(x)= (1/30)x^3 - 15x² + 2500x

On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet suplémentaire;
on choisit comme modélisation de ce coût marginal:

Cm(x)= CT'(x)
[où CT' est la fonction dérivée de CT.]

On suppose que l'entreprise est en situation de monopole, ce qui a pour effet que la demande est uniquement fonction du prix.

La relation liant prix de vente unitaire p et demande x (en unités) est:

p(x)= - (45/8)x + 2750

(Autrement dit, quand x objets sont vendus, chacun l'est au prix p(x).)

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1.) Calculer la recette totale R(x) pour la vente de x unités.

2.) On appelle recette marginale l'augmentation de recette procurée par la vente d'un objet supplémentaire; on modélise cette recette marginale par: rm(x) = R'(x)
[Ou R' est la fonction dérivée de R]
Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ?

3.) Montrer que le bénéfice pour la production et la vente de x unités est donné par:

B(x)= -(1/30)x^3 + (75/8)x² + 250x

a) Calculer B'(x) ; ou B'est la fonction dérivée de B

b) En déduire que le bénéfice est maximal quand la recette marginale est égale au coût marginal.

c) Que vaut ce bénéfice maximal ?

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Voilà votre aide me serait extrèmement utile.
Merci d'avance

Romain