I est un intervalle de IR
f une fonction à valeurs réelles definie sur I
J(f) est l'ensemble des réels p tels que la fonction definie sur I par x->p*x-f(x) soit majorée.
Si J(f) différent de l'ensemble vide on definit g sur J(f) par
g(p)=sup(px-f(x))
x ds I
g est appelé transformée de Legendre de f on note g=L(f).
II.A.1)
Montrer que J(f) est un intervalle.
On commencera par montrer que si a et b sont dans J(f), alors pour tout t appartenant [0,1] on a t*a+(1-t)*b appartient à J(f)
II.A.2) Montrer que g=L(f) est convexe sur J(f)
Ici on demontre le 2) ms seulement si on a le 1) donc ....
Je voit pas comment à partir de l'indication on peut montrer que J(f) est bien un intervalle ?
Merci d'avance :-D
Vraiment desolé mais là c'est trop au pour moi!!!! J'aurai bien voulu t'aider mais les maths c'est deja pas mon point fort et je n'ai pas fait des maths tres pousser non plus!!!
Ca fait un bout de temps que j'ai pas revu mes cours de sup et là, je vois pas comment faire, je me rappelle même plus des définitions.
Par contre pour la 2 rien ne t'empêche de la démontrer en admettant la conclusion de la 1, mais perso je ne vois plus le rapport, à une époque j'aurais peut-être su, mais là...
Bon courage en tout cas!!
II-A-1°)
en fait c'est comme si on te demander de trouver un barycentre de 2 pts (a et b) pondéres par (t et 1-t). Vu que le truc est vrai pr tout barycentre entre a et b alors c vrai sur ]a,b[ (cf coordonnées barycentrique).Voilà encore faut il le demontrer (j'ai pas le tps de me pencher dessus mais ca a l'air assez chaud), moi je te donne juste le lien entre l'indication et la démo.
Je pourrais regarder ça lundi (si c pas trop tard)
salut
pour mq J(f) est un intervalle
ya un cas évident : I est un intervalle fermé borné(=[a;b])
alors :
# si f est minoré sur I par m sur I
alors pour tout p, on prend K = p*b-m et on voit que K est un majorant de px - f(x) sur I donc J(f) = R
# sinon (f n'est pas minorée) alors J(f) est réduit à l'ensemble vide
je réfléchis à la solution dans le cas général (I non borné)
resalut
l'indication est très utile avec le " a" et "b" :
si a et b sont dans J(f) alors :
il existe Ka et Kb tq pour tt x dans I
a.x -f(x) =< Ka et b.x - f(x) =< Kb
donc pour tout c entre a et b : c=t.a+(1-t).b avec t entre 0 et 1
on a (les inégalités sont conservées en multipliant par un facteur positif):
t.(a.x -f(x))+(1-t).(b.x - f(x)) =< t.Ka + (1-t).Kb = Kc
et en développant on voit que Kc de c.x - f(x) sur I
donc c appartient à J(f)
donc si a et b sont dans J(f) alors [a;b] est inclu dans J(f)
pour conclure la question, on peut le faire par l'absurde :
si J(f) n'est pas un intervalle, alors il existe a<c<b tels que a et b dans J(f) et c pas dans J(f) ce qui est impossible d'après ce qui précède
pardon ds le dernier message, c'est "Kc majorant de c.x-f(x) sur I".....
pour la deuxième question, c'est exactement le même principe sauf qu'on remplace Ka et Kb par g(a) et g(b) : on suppose J(f) non vide est on prend a<b dans J(f) donc par déf g(a) et g(b) vérifient pour tout x de I : a.x-f(x) =< g(a) et b.x - f(x) => g(b)
donc (idem question 1) pour tout c de [a;b],(c= t.a+ (1-t).b)
c.x-f(x) =< t.g(a) + (1-t).g(b)
donc t.g(a) + (1-t).g(b) est majorant de c.x-f(x) sur I
donc par définition de g, g(c) =< t.g(a) + (1-t).g(b)
ce qui est vrai pour tout c de [a;b]
DONC g est convexe sur [a;b] mais ceci est vrai pour tout couple a,b de J(f) donc g est convexe sur J(f)
voila!
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