Problème pour déterminer si une suite est minorée, majorée, bornée.
Forum Etudes / Travail : Problème pour déterminer si une suite est minorée, majorée, bornée.
J'arrive pas à faire cet exo :
Les suites suivantes sont-elles majorées ? Minorées ? Bornées ?
a. Un = 4n-2
b. Un = (n-1)/(2n+7)
c. Un = 2n²-5n+3
d. Un = racine (n²-n+4+3)
Comme j'ai rien capté je me reporte au cours et aux exemples :
a.
On étudie la fonction f défini sur R par f(x)=4x-2 car Un = f(n)
f'(x) = 4, définie sur R (faut le dire ça ?)
Donc pour tout x appartient à R+ (car n appartient à N) f'(x) > 0 donc f est croissante sur R+ donc U0 = -2 est un minorant de la suite Un
Ensuite je vois pas comment savoir si elle est majorée.
b) Un = (n-1)/(2n+7)
comme Un = f(n) étudions la fonction f telle que f(x) = (x-1)/(2x+7) définie sur R - {-4.5}
Par définition (u/v)' = (u'v-uv')/v²
Prenons u = x - 1 on a u' = 1
et v = 2x+7 on a v' = 2
donc f'(x) = 9/(2x+7)²
Il suffit d'étudier les variations de la fonction f sur R+ parce que la suite est définie sur N.
Et là je bloque encore... :
Je trouve une fonction croissante alors que sur la calculatrice elle est décroissante....
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer cet exo ?
- Tu as raison pr le calcul de dérivée, je trouve la meme chose avc mon ordi et ta fonction est toujours croissante sur les 2 intervalles de définitions (graphique sur l'ordi).
b°) méthode + simple :
on travaille avc des naturels donc Un > 0 (dans ce cas précis on a tjs un quotient de nb <=0 car n-1>0 et 2n+7>0) donc déjà (Un) est minorée par 0. De plus 2n+7>n-1 dans les naturels (pptés facile a demontrer) donc Un<=(2n+7)/(2n+7)=1 donc Un<=1 donc (Un) est majorée par 1 donc (Un) est bornée...(Dans cette question pas besoin de calculer le minimum de Un il suffit de minorer et de majorer tel un gros bourrin)
c°) Là on peut dire que 1/2*Un >=-4 car 1/2*Un + 4 = (n-5/4)² donc Un+8>=0 donc Un >= -8 (j'ai fais expres de choisir une valeur qui annule delta pr factoriser en 2 secondes) Donc Un est minorée.
Un n'est pas majorée car tu prends la fonction associée et on voit qu'elle tend vers l'infini qud x->+oo
voilà.
N'utilise pas systematiquement le passage ^par une fonction car c'est pas tjs la meilleure methode bien que parfois ca permette de torcher rapidemment un pb de suites.
Merci pour tes réponses mais j'ai encore quelques questions :
| Citation : N'utilise pas systematiquement le passage ^par une fonction car c'est pas tjs la meilleure methode bien que parfois ca permette de torcher rapidemment un pb de suites. |
J'utilise quoi alors ??
En fait pour savoir si la suite est bornée on peux étudier les limites aux bornes de la fonction qui correspond ?
un autre truc : pour le b, n-1<2n+7 donc n-1/2n+7 est compis entre 0 et 1 inclus non ?
Pour le b c ok ca marche aussi en voyant les choses comme ça mais ma methode propose directement un majorant (ca depend comment tu vois le truc, ta methode reste correcte et tout a fait efficace).
Si tu n'utilises pas de fonctions, tu majores ta suite "à la main" car des fois ca s'avère tres pratique.
Par exemple : est ce que la suite (2^n/n!) est bornée ???
Là il est impossible d'utiliser une fonction à cause du n! (on ne peut pas définir x! pour x réel (en fait si mais il faut utiliser la fonction "gamma" qu'on ne voit qu'en maths spé et encore)
Le truc déjà c que Un est >=0 car n! et 2^n st tjs positifs.
Il te suffit de monter par recurrence que 2^n<=n! (ce resultat est intuitif car 2^n = 2*2*2*2*...*2 et n! = 2*3*4*5*6*...*n) donc on voit bien que le factoriel est bcp + "fort" que le 2^n)
une fois le résultat prouvé il te reste qu'à dire que 2^n/n! <=n!/n!= donc Un<=1 donc (Un) est majorée.
Ainsi (Un) est bornée.
- ex2 : Si on te donne un truc du genre Un=(3n+1)/(n+2)
Au lieu de te tapper une étude de fonction qui va te prendre 3h, dis tout simplement que 3n+1<=3*(n+2) (calcule 3n+1 - 3*(n+2) et montre que c tjs positif pr n naturel) donc Un<=3 donc Un est majorée. (et minorée car les termes sont tjs >=0 (facile à voir) donc 0 minore les Un).
je v te montrer qu'une étude de fonction peut etre desastreuse parfois pr trouver les variations d'une suite :
ex3 : Un = n*|cos(n*Pi)|
Alors là, si tu fais une etude de fonction, tu avoir une espece de sinusoide qui oscille à l'infini et qui va etre de + en + grande donc tu vas rien pouvoir dire. Alors que si tu regardes ta suite tu vois immédiatement que pour tout n naturel |cos(n*Pi)| = 1 (toujours) donc en fait Un = n qui est une suite croissante tres simple alors que ta fonction etait une espece de truc degueulace qui donnait aucune information.
Disons que la méthode d'etudier via une fonction est une sorte de sécurité car ca marche "presque" tjs, en effet, le fait que la fonction soit bornée implque que la suite est bornée mais, on peut tres bien avoir une fonction non bornée alors que la suite est bornée :
exemple : Un = sin(2*Pi*n)*n²
on voit tt de suite que Un = 0 toujours a cause du sinus donc (Un) est bornée alors que si on passe par la fonction, on trouve encore un truc qui oscille et qui est non borné en +oo...
- En fait il faut avoir un peu d'intuition (donc il faut un peu s'entrainer) pr trouver le bon truc qui va majorer ta fonction et qui va d'une maniere tres significative, simplifier enormement les calculs.
EDIT : je viens de m'apercevoir que t t en 1ere donc tu n'as pas du voir les raisonnement par recurence, donc oublie ce que je viens de dire pr demontrer que n!>=2^n (normalement si ca doit arriver on te guidera ds ton devoir pr que demontres l'inégalité)
ok ok merci, bon ben j'ai 3 jours pour m'entrainer.. !
EDIT : Dans le livre il y a les réponses (sans explications bien sûr) et ils disent que la suite est minorée en -1/7 et majorée en 1/2 0o
en plus je suis pas sûre de ma dérivée, parce que je l'ai recalculée et je trouve pas la même chose... (je trouve -5 au numérateur au lieu de 9).
En fait pour résumer quand on cherche à détermines déterminer si une suite Un est bornée on peut :
1°) Utiliser la fonction f correspondant à la suite Un :
Etudier les variations de la fonction f en determinant le signe de la dérivée.
2°) Etudier le signe de U(n+1)-Un.
J'ai trouvé pourquoi -1/7
U0 = (0-10/(0+7) = -1/7
U1 = 0
U2 = 1/11
U3 = 2/13
U(n+1) - Un = ((n+1)-1)/((2(n+1)+7) - ((n-1)/(2n+7)) = 1 / ((2n+9)(2n+7))
n différent de 9/2 et 7/2 car n appartient à N
(2n+9)(2n+7) > 0 car n appartient à N
La suite Un est donc croissante et est minorée par U0 = -1/7
Ensuite j'arrive pas à comprendre comment on peux savoir qu'une suite n'est pas majorée sans utiliser les limites...
Tu confonds quand je dis que la suite est majorée par 5 ca n'empeche pas que 4 majore lui aussi. Le but n'est pas de calculer le + petit des majorant mais d'en trouver 1 (meme si tu trouves dit que 99999999999999999999 est majorant, on s'en fout le tout est de dire que ça ne tend pas vers l'infini).
Quand tu trvailles avc la limite, tu trouves un autre majorant. Si on te demande juste de montrer que c majoré alors il te suffit de trouver un majorant qui convient même si c un gros nombre du style 10^99999999
exemple : Un = sin(n*Pi/4)
la suite est majorée car sinus<=1 (c tjs vrai donc on peut dire que Un<=100 (ou à 100000 on sen fou) bref elle est majorée) cependant, en faisant avc la limite on trouve que 1 est majorant. Bref on a montré dans les 2 cas que la suite était majorée (que ca soit par 1 ou par 100000, disons que 1 c plus précis mais ça ne change pas du tout le problème).
En lui meme, le signe de Un+1-Un ne t'apporte que des informations sur les variations de la suite donc si ta suite est croissante (Un+1-Un>=0) alors elle est minorée (mais elle peut etre majorée ou pas on peut pas savoir comme ça, il faut passer par la fonction ou faire "a la main" )
exemple : Un=-1/n
(Un) est clairement croissante donc elle est minorée c'est sur, et elle est majorée (car etudie la fonction -1/x et tu verras que c le cas)
exemple 2 : Un = n
Un est croissante donc minorée c'est sur mais elle n'est pas majorée (etudier la fonction x)
j'ai beau réfléchir ya un truc qui m'échappe, un théorème qui est passé à la trappe, je vois toujours pas comment déterminer un majorant d'une fonction :-?
EDIT : c'est bon j'ai trouvé la réponse à cette question ^^
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