Petit casse tête

- Peut on "paver" le plan (de dimension 2) avec seulement des cercle de rayon > 0 qui ne s'entre-coupent pas ? (on peut en prendre une infinité)
(justifier)

Oui mais le problème c qu'il te restera toujours une infinité de points non recouverts.

Non moi je te parle d'un plan infini (au sens mathematique) donc la superficie non recouverte sera infinie... mais le pb est de recouvrir tous les points.

On peut paver le plan avec des droites non sécantes c'est sûr (prendre les droites d'equation y=constante avec constante un réel quelconque, ainsi soit A(b,c) du plan alors i existe une et une seule droite passant par A (la droite d'equation y=b)) mais est ce que ca marche avec des cercles non sécants ??

oui mais là ce sont des cercles de rayons nuls (des points) alors que pr le pb il faut de rayon non nul et qu'ils soient non sécants (sinon ca serait evident), cepdt leur rayon peut etre arbitrairement petit.

Oui, on me l'a donnée mais je pense que je l'aurais trouvé seul si j'avais eu + de tps.

T'en pense quoi toi ??? (intuitivement)

C'est faisable ou infaisable (mathematiquement parlant bien sûr) de remplir un plan entier avec autant de cecle qu'on veut de rayon arbitraire positif strictment et non secants??

Bonne intuition, dis moi si tu veux une justification car c un ptit peu long.

En gros, si on commence par un cercle C1 de centre A1 de rayon R1, alors il faudra qu'un cercle C2 de centre A2 passe par A1, ainsi le rayon R2 de C2 est inferieur à R1/2 sinon C2 couperait C1.
De meme il faut qu'un cercle C3 de rayon R3 de centre A3 passe par A2 et on aura R3<R2/2 donc R3<R1/2^2 et ainsi de suite (je détaille pas la preuve par recurrence)...
Au bout d'un moment on arrive au cercle Cn de rayon Rn<R1/2^n de centre An et donc quand n tend vers l'infini, Rn tend vers 0 et An tend vers un point limite (s'en approche infiniement) (car on divise a chaque fois par 2 le rayon et que les point An sont "coincés" de plus en plus par les cercles)..Le problème qui se pose est qu'au final (apres avoir fait une infinité d cercle) il reste un point (le point limite) qu'on en peut pas atteindre par un cercle de rayon positif.

Ceci n'est pas une preuve (ca serait trop long a rediger) mais ca permet de bien comprendre le mécanisme de la contradiction.

c'est possible en les empilant avec une epaisseur de 0 :-P
Sinon c'est comme les nombres rationnels dans l'ensemble des réels.

Par contre intuitivement, j'aurais dis que c'est possible, car on tend vers l'infini.
Le rapport entre la surface des disques et la surface du plan ne tend-t-il pas vers 1 ?
car si c'est le cas, on peut considérer tout recouvrir car on ne disposerait pas d'un nombre limité mais infini (comme la différence entre les suites et les séries).

cercles ou disque c'est pareil non ? j'ai peut-être pas compris ton problème, lol.
En fait c'est la notion de "paver" que j'ai pas dû bien comprendre.

En fait ce que je veux dire par l'analogie avec suite/série, c'est que quelque soit la précision, on ne couvre pas, mais quand on prend la limite est-ce que l'espacement entre les cercles ne tendraient pas vers 0 ?
les 2 limites tendent vers0 donc c'est, a priori, une forme indéterminé, donc je veux voir les calculs :-)

preuve par l'absurde (peut etre il y aura des petites erreurs de rigueur mais le principe est tres comprehensible)

On suppose que quel que soit un point du plan, il existe un et un seul cercle passant par ce point donc libre à nous de choisir de ce point.
Soit C1 un cercle du plan de rayon R1 de centre A1
on prend le repère usuel de centre C1.
Or comme tout point est atteint par un et un seul cercle en particulier le point A1 :
- alors il existe l'unique C2 de centre A2 de rayon R2 passant par C1 avec de plus
R2<(strictement)1/2*R1 (sinon les C1 et C2 se couperaient)
et ||A1A2|| =1/2*R1 (car A1 est sur le cercle)
- Or comme tout point est atteint par un et un seul cercle en particulier le point A2 :
- alors il existe l'unique C3 de centre A3 de rayon R3 passant par A2 avec de plus
R3<(strictement)1/2*R2 (sinon les C1 et C2 se couperaient)
et A1A3 = A1A2 + A2A3 (en vecteur) donc ||A1A3||<=1/2*R1+1/2*R2 = (1/2 + 1/2²)*R1

etc...(j'espere que tu m'accorde la recurrence)
en gros on se retrouve (preuve facile par recurrence) avec :
Rn <1/(2^n)
||A1An|| < somme de la serie géometrique des 1/2^n * R1 = R1 par passage à la limite

En gros le centre Al par passage a la limite se trouve sur le disque ouvert de centre A1 de rayon R1 et est confiné dans un cercle de rayon nul (ce qui n'est pas acceptable).
soit B un point différent de Al
on note d la distance de Al à B alors il existe n tel que 1/2^n < d donc par contraposition (la condition sur le rayon n'est pas vérifiée) pour tout point B différent de Al il y aura un cercle passant entre Al et B donc on ne peut pas former le cercle de rayon d (car il existe n tel que d>1/2^n).

Donc Al n'est jms atteint par un cercle de rayon positif non sécants avec un autre.