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Etude de fonctions

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour,
j'ai un petit problème avec un exercice de math :-?

Soit 0<k<e et f la fonction variable réelle définie sur R par f(x)=(2-x)e^x -k

1.Determiner les limites de f en +et- infini
(alors en + infini, je trouve -infini
Par contre en -infini, je tombe sur une forme indéterminée :-? si vous pouviez m'aider)

2.Caluler f'x et en déduire les variations de f. Calculer f(1)( f(1) je trouve exp(1)-k)

3.établir que l'équationf(x)=0 admet 2 solutions:
-l'une Beta(k) appartenant à ]1;+inf[
-l'autre Alpha(k) appartenant à ]-inf;1[
et montrer que:
exp(alpha(k))-k(alpha(k))=(exp(alpha(k))-k) (alpha(k)-1)
De même pour beta(k) : exp(beta(k))-k(beta(k))=(exp(beta(k))-k) (beta(k)-1)
Determiner une valeur approchée à 10^-1 près de alpha(1), beta(1) et beta(2)
(Cette question, je vous avouerais que je n'y comprends absolument rien :-? )

4.Préciser le signe de f(x) suivant les valeurs de x

Voilà..je sais ça donne pas envie de le faire quand on voit la longueur.. :-? mais bon..si une âme charitable est disposée à m'aider... :-) Merci d'avance...

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Bonsoir, alors petit problème de limite? pourtant là y a pas grand chose à faire just à savoir un ti truc.

* en +inf, c'est -inf ok pas de probleme
* en -inf

ben tu développe f
f(x)= 2e^(x) - xe^(x) - k

lim e^(x) = 0 qd x--> -inf

lim xe^(x) = 0 qd x --> -inf (croissance comparée)

preuve de ce résultat :

on pose : X = -x donc xe^(x) = -Xe^(-X) = - X/e^(X)

lim X = +inf qd x---> -inf

donc lim -X/e^(X) = 0 qd X ---> +inf car l'exponentielle "l'emporte" sur les puissances de x

D'où : lim xe^(x) = 0 qd x--->-inf

Donc : lim f(x) = -k qd x---> -inf


2) f est dérivable comme la fonction exp est dérivable sur R

f'(x) = (1-x)e^(x) (suffit juste savoir dériver un produit!)

variations :

- signe de f' ==> t'en déduis où f est croissante et décroissante ( fait un tableau de variation c'est apprécié!).
Tu précise aussi l' extremum ke t'as ( bah la en f(1) y en a un puisque en 1 ta dérivée s'annule
)

3)pour les solution de l'équation f(x) = 0

ben tu fais avec ton tableau de variation et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, pas besoin de résoudre à la main.

... voila bah et la fin bah jpense ktu peux le faire :o D

Ok, merci bine TiRhum,tes conseils m'ont bien aidé :-P

J'ai juste un problèem avec la question 3:
pour montrer qu'il existe 2 uniques solutions , ça pas de problème, j'ai utilisé le théorème des valeurs intermédiairesavec la bijection..

Par contre je bloque sur les 2 dernières

montrer que:

exp(alpha(k))-k(alpha(k))=(exp(alpha(k))-k) (alpha(k)-1)
De même pour beta(k) : exp(beta(k))-k(beta(k))=(exp(beta(k))-k) (beta(k)-1)

Determiner une valeur approchée à 10^-1 près de alpha(1), beta(1) et beta(2)(les valeurs je galère..pour alpha pr moi il est compri entre -l'infini et -5.... :-? )

Si on pouvait me répondre assez rapidement pour ces 2 dernières questions, ça serait sympa :-)
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