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Fonctions Trigonométriques

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour,

Bon voilà, ça faisait longtemps mais là j'ai à nouveau un petit problème:

1.Soit f définie sur I =[0;2Pi[ par f(x)= x-tan(x)
a.Etudier le sens de variation de f sur I
b.En déduire le signe de f sur I

2.Soit g définie sur L=]0;2Pi[ par g(x) = sin(x)/x
a.Démontrer que le signe de g' est le même que celui de la fonction f sur L
b.Déterminer le sens de variation de g sur L

-------------------

Tan(x) quotient de fonction sinus et cosinus dérivable en tt x de R donc tan dérivable en tt x de R

f'(x)=1-1+tan²(x) ou 1-(1/cos²(x))
f'(x)=tan²(x)

La fonction tangente est croissante sur tout intervalle où elle est définie me semble t-il.. donc croissante sur intervalle I....?

g'(x)=(cos(x)*x-sin(x))/sin²(x)) ?? :-?

Merci d'avance si quelqu'un peut m'aider..d'ici là je continue à chercher un peu plus ;-)

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f'(x) = -tan²(x) qui est positive donc f est croissante

tu calcule f(0) ca fait 0 donc f est positive car elle est croisssante sur I et minorée par 0 sur I

2°) calcule g' et montre que c un truc positif
connaissant le signe de f tu as les variations de g

Ok merci amel_b :-)

J'ai donc fait ceci:

f(x)=x-tan(x) <=> f(x)=x-(sin(x)/cos(x))

g'(x)=(x*cos(x)-sin(x))/x²

On met cela sous forme de différence comme f à savoir
g'(x)= cos(x)/x- sin(x)/x²
g'(x)=x*1/x*(cos(x)/x)-(sin(x)/x²)
g'(x)=x*(cos(x))/x²)-(sin(x)/x²)

Mais après cela je dois faire quoi pour montrer que le signe de g'(x) est le même que celui de f??? :-?
factoriser? en essayant de mettre (cos(x)/x²) en facteur?

Oui -tan²(x) c'est negative, c'est incontestable...c que j'ai écrit un peu vite c tout...et t'en fais pas pr moi je la connais cette regle en maths spé ça rique d'être utile.

ps au lieu de calculer la derivée de tan comme quotient de sin/cos dis que tan' = 1 +tan² (tu peux par contre demontrer cette formule en partant du quotient une bonne fois pr toute).

Donc j'ai fais ceci: f(x)=x-tan(x)
f'(x)=-tan²(x)
-tan²(x)<0 La fonction f est donc décroissante..

f(0)=0 et la fonction f est négative car elle est décroissante sur I et majorée par O sur I.

Ensuite g(x)= sinx/x
g'(x)=(x*cos(x)-sin(x))/x²)
d'où g'(x)=cos(x)/x - sin(x)/x²

Mais comment continuer pour montrer que le signe est le même que celui de f(x) sur L
et pour en déduire les variations de g sur L :-?

Salut, y a des points à rectifier :

1) en calculant la dérivée f' on a bien f'(x) = -tan²(x) <= 0 donc f est décroissante sur [0,Pi/2Pi/2, 2Pi[

Signe de f

f(0) = 0 Ok mais cela est insuffisant pour conclure!

Ta déduction par suite est fausse. Il fallait regarder la limite à gauche et à droite en Pi/2 ta valeur interdite!

- En Pi/2 - , la fonction tan tend vers +infini donc ici f tend vers -infini
- En Pi/2 + , la fonction tan tend vers -infini donc ici f tend vers +infini

.En [0, Pi/2[ pas de problème comme f est décroissante , f est négative.

.En ]Pi/2, 2Pi[ , f(2Pi) = 2Pi et la limite de f en Pi/2 + est +infini et f décroissante : f positive!!

Conclusion : f négative sur [0,Pi/2[ et positive sur ]Pi/2, 2Pi[ :-D

2) g(x)= sin(x) / x et g'(x) = [xcos(x) - sin(x)] / x² okay

il faut que tu exprime tout simplement g' en fonction de f

on sait que : tan(x) = sin(x) / cos(x)

f(x) = x - [sin(x) / cos(x)]
= [xcos(x) - sin(x)] / (cos (x) )

Or x²g'(x) = xcos(x) - sin(x)

D'où f(x) = [x²g'(x)] / (cos(x))

donc g'(x) = [f(x)cos(x)] / x² ;-)
En fait, le signe de g' dépend de f(x)cos(x)

x ---> cos(x) est positive sur ]0,Pi/2[ et négative sur ]Pi/2, 2Pi[ (car faut respecter que L = ]0, 2Pi[)

de +, f négative sur ]0, Pi/2[ et positive sur ]Pi/2 , 2Pi[ d'après 1)

D'où en faisant le produit on en déduit que :

. Sur ]0,Pi/2[ ,g' est négative
. Sur ]Pi/2, 2Pi[, g' est négative


Variations de g

d'après le signe de g'

Sur L tout entier , g est décroissante (f aussi décroissante sauf que la valeur Pi/2 interdite ne figure pas dans l'intervalle L!)

Signe de g

- savoir que la limite de sin(x) / x quand x tend vers 0 est 1.
-g(2Pi) = 0
- g décroissante

Donc, g est positive sur L


FIN...


Remarque : le sujet n'est pas bien posé, comme je t'avais dis au 1) l'intervalle où est définie f est faux car Pi/2 est valeur interdite ( cf propriété sur la fonction tan). Donc voila ce qui pose des problèmes. J'ai rédigé du mieux possible. Justifie bien aussi qu'une fonction est dérivable avant de dériver ! (ce que je n'ai pas fais) mais c'est indispensable pour avoir tous les points à la question ;) 

tirhum@IDN a dit :
je ne suis pas d'accord la fonction x---> tan(x) est une fonction 2Pi-périodique qui est définie sur R\{Pi/2 + kPi}. Donc ton énoncé n'est pas juste.
I = [0,Pi/2Pi/2, 2Pi[. sinon c'est absurde...voilà petite rectification



je suis d'accord avec toi sur le fait que x--->tanx est définie sur R\{Pi/2+kPi}.Mais cette fonction n'est pas 2Pi-périodique!!!!! ATTENTION!!!!!! Elle est plutôt Pi-périodique!!!

Citation :
Mais cette fonction n'est pas 2Pi-périodique!!!!! ATTENTION!!!!!! Elle est plutôt Pi-périodique!!!

Donc 2-Pi périodique...la notion de minimalité n'intervient pas dans la définition de "f est périodique".
Et merci pour cette intervention très utile (les messages datent de 6 ans)
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