bonjour cet exercice d'arithmétique me pose probleme
merci de votre aide

n est un entier n>1 on pose a=n²+1/n(n²-6)

1: prouver que l'ensemble des diviseurs communs du numératuer et du dénominateur de a est l'ensemble des diviseurs communs de n²-1 et 2

2: déduisez en que si n est pair, alors la fraction est irreductible et que si n est impair alors le PGCD du numérateur et de dénominateur égale 2 :-(

1°) soit d un diviseur commun
d divise n²+1 et d divise n(n²-6)
donc d divise 5n (combi lineaire)
donc d divise n^3 - n = n(n²-1) (combi lineaire avec le 2eme)
or d est premier avec n car d divise n²+1 donc d divise n²-1
d visant n²-1 alors d divise 2 aussi (combi lineaire avec le premier)
ainsi l'ensemble des diviseurs du num et du denom est INCLUS dans l'ensemble des diviseurs de n²-1 et 2
RECIPROQUEMENT il faut montrer par une methoide analogue que les diviseurs de n²-1 et de 2 sont inclus dans l'ensemble des diviseurs du num et du denom...je te laisse le faire car si t'as compris il ne devrait pas y avoir de soucis.

2°) si n est pair alors n²-1 est impair donc comme tous les diviseurs divisent 2 et un nombre impair alors le seul diviseur est 1 donc la fraction est irreductible
si n impair n²-1 est pair donc les diviseurs divisent toujours 2 et un nombre pair et comme 2 est le + grand diviseur de 2 (logique) alors il s'agit du pgcd