maths exo TS

bonjour, je coince sur une question d'un exo sur les suites
voici le sujet, ne vous effrayez pas de la longueur, je mets tout le sujet car je pense que des questions du sujet peuvent servir mais je n'arrive pas à faire la question 2b.

SUJET
On considère les suites numériques u(n) et v(n) définies ainsi:

u(n) = sin (1/n²) + sin (2/n²) + ... + sin (n/n²)

v(n) = 1/n² + 2/n² +...+ n/n²

0. Montrer par récurrence que
1+2+...+n = n(n+1) / 2

1. démonter que la suite converge vers 1/2

2. a. démonter que les trois fonctions suivantes ne prennent que des valeurs positives ou nulles sur [0; +l'infini[

f(x) = x-sinx
g(x) =-1+ x²/2 + cos x
h(x) = -x + x^3/6 + sin x


2.b. Justifier que pour tout n supérieur ou égal à 1, 1^3+2^3+...+n^3 inférieur ou égal à n^4

déduire du a que vn - (1/6) * (1/n²) inférieur ou égalà u(n), et u(n) inférieur ou égal à v(n)

2.c montrer que u(n) converge


VOICI MES CALCULS:

0. On suppose que 1+2+...+ n = n(n+1) /2
MAJEURE:
1+2+...+n+n+1 = n(n+1) /2 + (n+1)
1+2+...+n+n+1= n(n+1)/2 + 2(n+1)/2
1+2+...n+n+1 = (n²+3n + 2) / 2
1+2+...n+n+1= (n+1) (n+2) / 2
La propriété est vraie au rang n+1 et donc hérditaire
MINEURE:
Avec n=1, 1+2 = 3
(1+1) (1+2) /2 = 3
La propriété est donc vraie au premier rang.
CONCLUSION
1+2+...+n= n(n+1)/2 est vraie pour tout n entier naturel.
1.
vn= n(n+1) /2 * 1/n² = (n²+n) / 2n² = n²/2n² + n/2n²
= 1/2 + 1/2n
Lim vn = 1/2 quand n tend vers + l'infini
car en + l'infini lim 1/2 = 1/2 et lim 1/2n = 0
Comme vn admet une limite finie: 1/2, vn converge vers 1/2.
2.
a. f(x)= x- sinx
f '(x) = 1-cos x
f'(x) est de signe positif sur [0; + l'infini[ dc sur cet interval f(x) croissante et comme f(0)=0 alors f(x) n'admet que des valeurs positives ou nulles.
g(x)= -1 + x²/2 + cos x
g'(x)= f(x) dc g(x) n'admets que des valeurs positives ou nulles
h(x)= -x + (x^3 / 6) + sin x
h'(x) = g(x)
h(x) n'admet donc que des valeurs positives ou nulles sur [0; + l'infini[.
b. je n'y arrive pas
c. en + l'infini,
Lim vn = 1/2 et Lim vn- 1/6 * 1/n² = 1/2
D'aprés le théorème des gendarmes, Lim un = 1/2 la suite un est convergente.

Bonsoir meniephy,

Je vais te guider un peu pour la 2b. Soit k dans N. Pour majorer la somme(k^3), on peut chercher un majorant de chaque terme (k^3). Or k<ou=n, et la fonction (x->x^3) est croissante, donc... je te laisse le plaisir d'aboutir par toi-même.

doublon

Dsl ms j'ai un peu de mal à suivre ton raisonnement, si k inférieur ou égal à n alors k^3 sup ou égal à n^3.
Alors en quoi le fait que la fonction x^3 soit croissante peut m'aider ?

Par quoi puis-je majorer chauqe terme de k^3,

dois-je dire que 1^3 + 2^3 +...+n^3 inf ou égal à 2^3 + 3^3 +...+ (n+1)^3 ?

Merci pour l'aide que tu m'as déjà apportée, je crois que j'ai compris maintenant. J'ai rédigé une réponse, pourrais-tu me dire s'il ya des erreurs ?

voici ma réponse:

Soit k= 1^3 +2^3 +...+n^3, k étant un entier naturel.

Comme f(x)= x^3 est croissante sur [0;+ l'infini[ et que k inférieur ou égal à n, alors k^3 inf ou égal à n^3.

Or n^3 inf ou égal à n^4 car n appartient à N et est donc compris entre [0; + l'infini [.

Donc on a k^3 inf ou égal à n^3 inf ou égal à n^4.

D'où 1^3+2^3+...+n^3 inf ou égal à n^4.

désolée mais je sais pas du tout ce que c'est que le jabber, ne serait-il pas plus imple de communiquer par e-mail ?
mon adresse mail est la suivante melrosedrouin