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Exercice de Maths sup

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour à tous, voila j'ai un exercice de maths à faire et je sèche depuis plusieurs heures déjà:

"Le but de cet exercice est de résoudre l'équation fonctionnelle:
(E), quelque soit x appartient à R:
f''(x)+f(-x)=x*cox(x), où f est la fonction inconnue deux fois dérivable sur R.

1) Démontrer que si f est solution de (E), alors:

g: x--> 0.5*(f(x)+f(-x)) est paire et solution de
(H): y''+y=0

h:--> 0.5(f(x)-f(-x)) est impaire et solution de
(L): y''-y= xcos(x)

2) Démontrer que les seules fonctions paires qui soient combinaison linéaire des fonctions sinus et cosinus sont les fonctions x-->A*cos(x) et que les seules fonctions impaires qui soient combinaison linéaire des fonctions x--> exp(x) et x-->exp(-x) sont les fonctions x--> B*sh(x), où A et B sont deux constantes réelles arbitraires.

3) Trouver:
a) les fonctions paires solutions de (H)
b) les fonctions impaires solutions de (L)

4) Résoudre (E)


PS: j'ai seulement réussi à démontrer que g est paire et que h est impaire.

Merci de m'aider...

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Bonjour,
Je ne veux pas répondre à ta question en te donnant la solution (ce qui serait à l'opposé de la pédagogie), je vais juste te mettre sur la voie. Dis toi simplement que toute fonction peut se décomposer en la somme d'une fonction paire et d'un fonction impaire.
Appelle g(x) la fonction paire (donc g(x)=g(-x)) et h(x) la fonction impaire (donc h(-x)=-h(x)). Remplace ta fonction f(x) par g(x)+h(x) dans l'équa diff et identifie les fonctions paires avec les fonctions paires, et les fonctions impaires avec les fonctions impaires !
Rappel : x.cos(x) st le produit d'une fonction impaire par une fonction paire --> x.cos(x) est impaire !!!

Voila. J'espère que ça t'aide !

Bonjour,
Je ne veux pas répondre à ta question en te donnant la solution (ce qui serait à l'opposé de la pédagogie), je vais juste te mettre sur la voie. Dis toi simplement que toute fonction peut se décomposer en la somme d'une fonction paire et d'un fonction impaire.
Appelle g(x) la fonction paire (donc g(x)=g(-x)) et h(x) la fonction impaire (donc h(-x)=-h(x)). Remplace ta fonction f(x) par g(x)+h(x) dans l'équa diff et identifie les fonctions paires avec les fonctions paires, et les fonctions impaires avec les fonctions impaires !
Rappel : x.cos(x) st le produit d'une fonction impaire par une fonction paire --> x.cos(x) est impaire !!!

Voila. J'espère que ça t'aide !

Bonjour,
Je ne veux pas répondre à ta question en te donnant la solution (ce qui serait à l'opposé de la pédagogie), je vais juste te mettre sur la voie. Dis toi simplement que toute fonction peut se décomposer en la somme d'une fonction paire et d'un fonction impaire.
Appelle g(x) la fonction paire (donc g(x)=g(-x)) et h(x) la fonction impaire (donc h(-x)=-h(x)). Remplace ta fonction f(x) par g(x)+h(x) dans l'équa diff et identifie les fonctions paires avec les fonctions paires, et les fonctions impaires avec les fonctions impaires !
Rappel : x.cos(x) st le produit d'une fonction impaire par une fonction paire --> x.cos(x) est impaire !!!

Voila. J'espère que ça t'aide !

en remplaçant f par g+h dans l'equa diff ça m'ammène à
g"(x)+g(x)+h"(x)-h(x)=x*cosx
ce qui me permet de répondre sans problème à la première question voire meme à la question 3.
Cependant je ne vois pas vraiment comment m'en sortir pour la démonstration de la question 2 ni pour la question 4.

Pour le 1:
- tu remplace dans l'équation (E) sachant
(g o f)'(x)=g' o f (x) . f' (x)
pour la parité, regarder g(-x) et h(-x)

Pour le 2:
tu pose f(x) = a cos(x) + b sin(x)
si la fonction est paire f(x) = f(-x)
Tu trouves la solution, et c'est pareil pour impair

pour le 3:
Toutes les fonctions f paires peuvent s'écrirent sous la forme g et toutes les fonctions impaires sont sous la forme h

On recherche toutes les fonctions paires, or toutes les fonctions paires de f s'écrivent sous la forme g.
Donc la solution à y'' + y = 0 sont les solutions paires de (E)
il suffit de résoudre ça en posant β.e^(i α x)
dans l'espace réel tu trouves la solution g donc f pour les fonctions paires

pour le 4:
Il faut chercher toutes les solutions, c'est-à-dire pas uniquement paire ou impaire.

Waouh il est plus de 5h du mat' on est dimanche matin et je tombe sur ce post et la des souvenir me revienne "Comment j'ai pus me prendre la tête quand j'étudiais ca!! ".

Soit dit en passante cricky tu es fort j aurai bien aimer t avoir comme prof de math parce que même a 5h passées un week end tout me revient clair quand tu explique ! c'est beau!

sinon juste un truc ta signature ma fait tripper dés que je l ai vu.Je n en ais pas encore extrait la signification mais j ai remarquer que si on en fesais un éxécutable il ce lance (c'est déja beau) et il fait un point de couleur et c'est peu être parce qu'il est tard mais ca m'a émus et j'en ais même versé une larme (mais je soupconne fortement le fait que je suis coller a mon ecrant CRT 19" depuis bientot 5h et que comme ma copine dort a coté je suis dans le noir avec le contraste et la luminosité fortement baissés !! 8~|)

cricky <<<< grand gourou de la signature qui fait s'entrechoquer mes deux neurones

lol, toi aussi tu as eu l'intelligence de l'utiliser ;-)

Voilà, bon je dévie du post initial mais bon on y reviendra si y a besoin :-D
Je décompile mon petit programme qui ne fait que 55 octets (bon en fait j'ai codé en assembleur pas directement en langage machine sous DEBUG):

xxxx est en fait une adresse mémoire comme par exemple 13B2.
Les processeurs intel sont en little endian c'est à dire que le nombre hexadécimal 1A23 est codé en mémoire 23 pour le premier octet et 1A pour le deuxième (les octets sont inversés).
Quand je met le h (comme 10h) ça signifie que c'est de l'hexadécimal (10h = 1*16 + 0 = 16)
  1. ADRESSE   INS    ASM            COMMENTAIRE
  2. ---------------------------------------------------------------------------------------------------
  3. xxxx:0100 B800A0 MOV AX, A000   ;Segment de l'écran
  4. xxxx:0103 8EC0   MOV ES, AX     ;dans l'Extra Segment
  5. xxxx:0105 B400   MOV AH, 00     ;interruption 10h fonction 13h
  6. xxxx:0107 B013   MOV AL, 13     ; => Activation du mode graphique:
  7. xxxx:0109 CD10   INT 10	        ;320x200x8bits
  8. xxxx:010B B91000 MOV CX, 0010   ;x := 10h
  9. xxxx:010E BA1000 MOV DX, 0010   ;y := 10h
  10. xxxx:0111 B005   MOV AL, 05     ;couleur := 5h
  11. xxxx:0113 E81000 CALL 0126      ;appel de la fonction xxxx:0126 (relativement à 0010 octets)
  12. xxxx:0116 B407   MOV AH, 07     ;interruption DOS 21h fonction 07h
  13. xxxx:0118 CD21   INT 21         ; => Attente d'appui d'une touche clavier
  14. xxxx:011A B400   MOV AH, 00     ;interruption 10h fonction 13h
  15. xxxx:011C B003   MOV AL, 03     ; => Activation du mode texte:
  16. xxxx:011E CD10   INT 10         ;80 colonnes x 25 lignes
  17. xxxx:0120 B44C   MOV AH, 4C     ;interruption DOS 21h fonction 4C00h
  18. xxxx:0122 B000   MOV AL, 00     ;Terminaison du programme
  19. xxxx:0124 CD21   INT 21         ;ici le programme s'arrête et rend la main à l'appelant
  20. xxxx:0126 50     PUSH AX        ;Sauve la couleur sur la pile (on va utiliser AX pour autre chose)
  21. xxxx:0127 89D0   MOV AX, DX     ;(AX) := y
  22. xxxx:0129 BB4001 MOV BX, 0140   ;(BX) := 320d
  23. xxxx:012C F7E3   MUL BX         ;(AX) := (AX) * (BX) = 320 * y
  24. xxxx:012E 89C7   MOV DI, AX     ;(DI) := 320 * y
  25. xxxx:0130 01CF   ADD DI, CX     ;(DI) := (DI) + (CX) = 320 * y + x
  26. xxxx:0132 58     POP AX		;dépile pour remettre la couleur dans AX
  27. xxxx:0133 26     ES:		;on se place dans le segment écran au lieu de xxxx
  28. xxxx:0134 8805   MOV [DI], AL   ;on met la couleur dans A000:(320 * y +y) à l'écran
  29. xxxx:0136 C3     RET            ;Retour de la fonction (Après l'instruction CALL appelante)

Donc, il suffit de modifier le B9 10 00 pour changer x, BA 10 00 pour le y et 05 pour la couleur (palette de 256 couleurs).
Après on peut modifier le code avant le CALL pour faire des boucles et afficher des trucs plus complexes (mais ma signature serait trop grosse :-D)
Par exemple si tu veux ajouter un deuxième points, il suffit d'ajouter par exemple:
MOV CX, 0011
MOV DX, 0011
MOV AL, 1B
CALL 0126
juste après le premier call.

Mais attention, en assembleur, le CALL est absolu, mais en langage machine il est relatif: le dernier call sera traduit par:
E8 10 00 (déplacement de 16 octets (32 caratères hexa)
le précédent il faut ajouter les 11 (0Bh) octets correspondant au décalage relatif, donc il serait traduit par E8 1B 00 (si je ne me trompe pas dans les calculs :-D ).

Bon faut être sur de ce que ça fait en langage machine, parce que il n'y a aucune détection d'erreur: si dans le call, tu te trompes d'un octet, le processeur va quand même faire le saut et exécuter ce qu'il trouve (on sait pas ce qui va se passer, généralement le programme plante parce qu'une instruction non valide est exécutée).
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