math suites adjacentes

(Un) set croissante car Un+1 - Un = 1/(n+1)! >0
vn+1 - Vn = Un+1 - Un + 1/(n+1)! - 1/n! = 2/(n+1)! - 1/n! = (2 - n - 1)/(n+1)! = (1-n)/(n+1)!

or 1-n<= 0 pr n >=1 donc (Vn) est decroissante a partir d'un certain rang (le rang 1 en l'occurence)

De + : Vn - Un = 1/n! qui tend vers 0 (car c majoré par 1/n qui tend vers 0 tout simlpement).
Donc Vn et Un st adjacentes...

merci abel :-P

je refaire ça en détaillant davantage et en ajoutant les propriétès ;-)

merci :-)

Ton problème est bien posé mon Grand. Voici une manière simple

de résolution de ta question.

Un=1/1! +1/2! +1/3! +...+1/n! Remarquons que les termes Un de

la suite (Un) sont définis seulement sur N*

[c'est-à-dire de; 1,2,3....n]

Remarquons aussi que le terme Un est égal à la somme des

inverses de n!; de 1! jusqu'à n! que nous calculons.

EXEMPLE: U(1)=1/1!

U(2)=1/1! +1/2! donc U(2)=U(1) +1/2!

U(3)=1/1!+1/2!+1/3! donc U(3)=U(2) +1/3!

donc U(n)=U(n-1) +1/n!

donc U(n+1)=U(n) +1/(n+1)!

Après avoir effectuer ces différentes remarques;




ETUDIONS LA MONOTONIE DE (Un)

EFFECTUONS [ U(n+1)-U(n) ]

On a U(n+1)-U(n) =[U(n)+1/(n+1)!]-U(n)

=U(n)+1/(n+1)! -U(n)

=1/(n+1)!

comme (n+1) appartient à l'ensemble N , alors (n+1)!>0 est dans

N et on aura : 1/(n+1)! > 0 et si

1/(n+1)! > 0 alors U(n+1)-U(n) > 0

Car U(n+1)-U(n)=1 n+1)!

d'où (Un) est croissante.





MONOTONIE DE (Vn) avec Vn=U(n)+1/n!

EFFECTUONS: [ V(n+1)-V(n)]

On a: V(n+1)-V(n)=[U(n+1)+1/(n+1)!]-V(n)

=[U(n)+1/(n+1)+1/(n+1)!]-[U(n)+1/n!]

=2/(n+1)! - 1/n!

= [2-(n+1)]/(n+1)!

(pour avoir ce résultat,il faut multiplier l'expression 1/n! par 1

ou simplement 1=(n+1)/(n+1) pour avoir (n+1)/(n+1)(n!)

ce qui fera alors: (n+1)/(n+1)!

Dans le précédant raisonnement,nous avons déjà montré que

(n+1)! est positif. Comme dans [2-(n+1)]/(n+1)! on sait que

(n+1)! est positif alors,le signe de

l'expression V(n+1)-V(n)= [2-(n+1)]/(n+1)! dépend uniquement

de 2-(n-1). Etant donné que c'est cela qui te semblait

ambigù,je te laisse le soin d'étudier le signe de en posant

l'équation :

2-(n-1)=0 et en tenant compte que tu résous cette

équation dans l'ensemble N .



Je suppose que ton tableau de signe te permet de conclure qu'à

partir du rang n>1 ou à partir des n=2, on a 2-(n-1) < 0 . On en

déduit que pour n>1 ou à partir des n=2, V(n+1)-V(n) < O . En

conclusion,à patir du rang n>1, (Vn) est décroissante d'où la suite

(Vn) est décroissante .


NOUS VENONS DE MONTRER ENSEMBLE QUE

LA SUITE (Vn) EST DECROISSANTE ET (Un) EST CROISSANTE.





CALCUL DE LA LIMITE DE LA DIFFERENCE ENTRE LES DEUX

TERMES DES SUITES .

lim[V(n) -u(n)]=lim[ ( U(n)+1/n! )-U(n)]

=lim[1/n!]

EN PASSANT MON GRAND JE SAIS AUSSI QUE TU AS ASSEZ DE

CONNAISSANCE SUR LA NOTION DES ENCADREMENT,OK.Bien?

Je peux alors écrire que O< [1/n!] < 1/n nous sommes dans N*

et pour ce faire, je

peux écrire 1/n car

nous savons que

n estdifférent de 0

AYANT alors 0 <[1/n!] < 1/n

en applicant le calcul
des limites à gauche
et à droite de [1/n!]
nous aurons 0 < lim[1/n!] <lim[ 1/n]

0 < lim[1/n!] < o


Grace au

THEOREME DES GENDARMES,

nous concluons que:

lim[1/n!]=0







COCLUSION: Comme (Un) est croissante et(Vn) est décroisante et

comme la limite de leur différence est nulle, alors

LES SUITES (Un) ET (Vn) SONT ADJACENTES .








NB

il faut considerer les signes
">" et " >" comme les signes
inférieur ou égal et
supérieur ou égal .