Problème de Maths sur la Quantité conjuguée

Bonjour,
Je dois rendre un DM de Maths (niveau TermS) pour demain et je n'arrive pas à résoudre cette exercice :

"Problèmes utilisant astucieusement les quantités conjuguées.

1°) On suppose que les nombres a, b et (rac : racine) rac(a)+rac(b) sont rationnels.
Montrer que dans ces conditions, les nombres rac(a) et rac(b) sont aussi des nombres rationnels.

2°) On considère l'équation l'équation : rac(x+1)-rac(x-1)=1

Après avoir précisé son domaine de validité (ou domaine de résolution), résoudre cette équation."

D'avance merci pour votre aide.

Orianne

on te dit d'utiliser les conjugué, il faut deviner pourquoi.
Il faut tout écrire sur un papier:
Tu as une info sur rac(a) + rac(b)
on te donne une astuce sur le conjugé qui est rac(a) - rac(b)

L'objectif 1: trouver une propriété sur rac(a)

A partir de là, il faut mettre en relation tout ce qu'on a:
on remarque que l'on veut rac(a), or si on l'additionne avec le conjugué on a:
(rac(a) + rac(b)) + (rac(a) - rac(b)) = 2 rac(a)

Bien dans l'objectif, il y a 2 choses, la première: rac(a): on a trouvé la relation avec le reste, la deuxième est le fait de demontrer que c'est rationnel.
Quelles sont les hypothèses qu'on a pas encore utilisé ? Tout simplement le fait que rac(a) + rac(b) est rationnel.
donc dans l'équation qu'on a écrit plus haut, on voit qu'il suffit de démontrer que rac(a) - rac(b) est rationnel (car la somme, produit ou division de rationnel forme un rationnel).
On a donc l'objectif 2 qui est de démontrer que rac(a) - rac(b) est rationnel pour démontrer l'objectif 1.

Ici, il nous reste une hypothèse: a et b sont rationnels. A priori on ne voit pas trop comment s'en servir.
Donc on est coincé.
Alors on utilise les connaissance des cours, notamment sur les racines carrés, car elle permettent d'nelever les racines.
Donc si on enlève les racines, on aura des a et b sans racines. Or c'est justement l'hypothèse qui manque (a et b rationnels).
(rac(a) - rac(b))(rac(a)+rac(b)) = a - b
a et b étant rationnels, a - b l'est également, donc (rac(a) - rac(b))(rac(a)+rac(b)) est rationnel

Comme on ne veut que (rac(a) - rac(b)), on divise le tout par (rac(a) + rac(b)) car 'est une hypothèse qu'on a déjà utilisé qui est que c'est rationnel, donc (a - b)/(rac(a) + rac(b)) l'est aussi.

Et voilà, à partir de là on retrouve l'objectif2, et donc l'object1: le problème est résolu