Le meilleur forum gratuit est phpBB.
Un forum est un fichier .zip, que tu dois décompresser. Tu dois ensuite envoyer les fichiers sur ton FTP, par exemple dans un répertoire /forum. Il y a une page d'installation pour créer les tables de la base de données. Ensuite le forum est utilisable.
Il faut que ton hébergeur supporte le PHP et la base de données MySQL.
En forums payants, il y a Invision Power Board, très complet (même trop ;-)), et vBulletin (il est bien payant ?).
phpBB 3 est en préparation, il est complètement copié sur Invision Power Board, mais en gratuit.