[résolu] Enigme maths : je n'y arrive pas

donne nous la réponse alors. sinon moi je pensais prendre tous les nombres impaires mais apres je ne sais pas car les nombres paires sont forcément des double de A un ex pour mieu m'exprimer 4 est le double de 2 mais de est le double de 1 idem pour le 8 16 etc. Le 6 ,2 etc nonplu puisqu'il son le double de 3 et ainsi de suite puisque le double d'un nombre impaire demeur et sera toujours paire

Alors je pose
B={2n+1 , 0<=n<=1499} (l'ensemble des nombres impairs)
card (B) = 1500 (il ya 1500 nb impairs entre 1 et 3000 !!!)
ensuite je pose
C={4*(2n+1) 0<=n<=374} (l'ensemble des nombres s'ecrivants ss la forme 4*un nombre impair)
card (C) = 375
de meme
soit D={4*(4*(2n+1)) , 0<=n<=93} (l'ensemble des nombres ss la forme 16 * un nombre impair)
C(intersection)D = ens vide (facile a demontrer) donc card(CUD)=card(C)+card(D)
ensuite on pose :
E={4*(4*(4*(2n+1))) 0<=n<=22} (les nombres de la forme 64*un nb impair)
card E = 23
E(inter)C=E(inter)D=ensemble vide (facile a demontrer)
soit F={4*4*4*4(2n+1) , 0<=n<=5}
card(F) = 6
F(inter)E=F(inter)D=F(inter)C=F(inter)B=ensemble vide
soit G={4*4*4*4*4*(2n+1) , 0<=n<=0}
card(G) = 1
G(inter)F=......=ensemble vide (ca se demontre facilement)

soit A = B U C U D U E U F U G U {3000}
car on oublie dans ce truc de tenir compte du dernier element qui appartient a l'ensemble

On verifie facilement qu'aucun des nombre n'est le double d'un autre (du au fait qu'on utilise des nombre impairs a chq fois mais sinon on peut le demontrer par un raisonnement par l'absurde)

Alors card(A)=card(B)+card(C)+....+card(G) = 1999

car tous ces ensembles st 2 a 2 disjoints.

J'explique mon intuition : j'ai pris les nbs impairs car ils ne st le double de personne. Ensuite je remarque que parmi les nombres pairs il faut choisir les multiples de 4 (pour etre sur de ne pas tomber sur un 2*(nb impair)). Mais pr prendre les bons multiuples de 4 il faut prendre ceux de la forme 4*(nb impairs pr etre sur de ne pas creeer des doubles) etc... en fait ca revient a trouver des ensembles de nb impairs multipliés par une puissance de 4 jusqu' a arriver a un ensemble de cardinal 1.

EDIT : J'ai corrigé, finalement 3000 est le db de 1500 qui appartient à C donc on à 1999 nombres ce qui ne prouve pas qu'il est impossible de trouver 2000 nombres.

soit moi chi ok pour les 1500 impairs

Et après moi je dis c'est de la simple observation .... 8, 12, ..... ce sont les doubles de 4, 6 qui ne sont des nombres qui n'appartiennent pas encore à l'ensemble ... et puis on compte combien on en a sans en laisser passer et c bon lol
Moi jdirais à première vue comme ça, peut-etre ya une technique plus belle, mais celle-ci, si j'ai bien capté, devrait etre bonne ...

Dis nous la reponse Stp .... merci  

Ha oui, ou comme ca loooool

Bon ben je m'incline ...

vous m avez arracher le cerveau avec tous ca !! :-P

PTyoann a indiqué la bonne réponse: comme un nombre pair est forcément le double d'un nombre impair, on ne peut prendre qu'au plus les 1500 nombres impairs compris entre 1 et 3000.

On peut donc éliminer tous les nombres de la forme 2(2n+1). Il est maintenant possible d'inclure les nombres de la forme 4(2n+1) soit 3000/8 = 375 nombres. On peut éliminer les nombre de la forme 8(2n+1) donc inclure les nombres de la forme 16(2n+1) (en gros 3000/32 = 94). Rebelote avec les nombres de la forme 32(2n+1) et on garde les nombres de la forme 64(2n+1) (3000/128=23). Rebelote on élimine 128*(2n+1) et on garde 256*(2n+1) soit 3000/512=6 nombres. Enfin on enlève 512*(2n+1) et on garde 1024*(2n+1) soit 1 nombre (en l'occurrence 1024).

au total 1500 + 375 + 94 +23 + 6 + 1 = 1999 nombres.

P.S. J'ai triché en faisant un petit programme pour calculer tout cela.

Tant qu'on est dans le sujet je vous donne les autres enigmes qu'on m'a filé dont certaines très difficiles :

1- Un polynôme à coefficients réels vérifie :
P(n) est entier pour tout entier n assez grand.

Peut-on affirmer que P(n) est entier pour tout entier n ?

2- Existe-t-il dans l’espace quatre boules deux à deux disjointes ne contenant pas un point donné A et telles que tout rayon issu de A rencontre au moins l’une de ces boules ?

3- On dispose de 10 boîtes et 44 billes. Montrer qu’on ne peut pas répartir les billes dans les boîtes de telle sorte que deux boîtes ne contiennent jamais le même nombre de billes.

4- Déterminer tous les couples de nombres entiers a et b s’écrivant avec exactement 5 chiffres, utilisant tous les chiffres de 0 à 9, tels que a = 9 X b . Exemple : 97524 et 10836.

(On pourra remarquer que la somme des chiffres de a est divisible par 9.)

Voilà, moi j'ai résolu la 3 pr le moment...la 2 et 4 semblent difficiles...

Pour le pb 4, un petit programme trouve la réponse en 1 minute:

9 * 08361 = 75249
9 * 06471 = 58239
9 * 06381 = 57429
9 * 10836 = 97524
9 * 10647 = 95823
9 * 10638 = 95742

tout ces calculs me font trop penser aux exos de spé maths en TS, c'est trop de la prise de tête.

C'est qud meme + recherché que ce qu'on fait en spé maths car y a pas de connaissances spéciales à avoir il faut de la logique (et un peu de pratique bien sur)!!!
Milmot t'es un tricheur avc tes programmes !!!! :-o
Ca doit se faire à la main ça !!! lol
enfin bravo qud meme car il est balaise celui là.
Tu as fait comment ??? t'as fait un truc avc une boucle for de 0001 à 99999 avc des tests au milieu ou un truc + recherché ??

pour la 3, c'est facile.
dans le cas ou on arrive à ne pas avoir 2 boites pareilles, on a la répartition suivante : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. soit un total de 45 billes. donc avec 44 billes, on en enlève 1 dans n'importe quelle boite, et on a alors automatiquement 2 boites identiques.

Plus bovin:

1) 5 boucles imbriquées (une pour chaque chiffre de a) avec test pour que les 5 chiffres soient différents.

2) à l'intérieur de la boucle interne, calcul de b=9*a et je regarde si b est plus petit que 98766 et que tous les chiffres entre 0 et 9 soient là. Si oui, c'est gagné.

On peut optimiser en remarquant que a est forcément inférieur à 98766/9 donc le chiffre des 10000aine de a est forcément 0 ou 1. Mais cela je l'ai vu après  

Au total: 15 mn de programmation + 1 mn de calcul = résultats.

Pas mal la technique bovine !!! lol